Η Σταθερά Λιουβίλ και το Μυστικό της Θέσης των 1

Το 1844, ο Γάλλος μαθηματικός Joseph Liouville  (1809–1882) εξέτασε τον ακόλουθο αριθμό:

L=0.1100010000000000000000010000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001… (η σταθερά Λιουβίλ).

Ποιον κανόνα ακολουθεί η τοποθέτηση των ψηφίων 1 στη δεκαδική του ανάπτυξη;

Απάντηση:

Τα ψηφία 1 εμφανίζονται ακριβώς στις θέσεις με δείκτη παραγοντικό:

1η, 2η, 6η, 24η, 120ή, 720ή, … δηλαδή στις θέσεις $n!$ για $n=1,2,3,\ldots$

Ισοδύναμα,

$$L=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{10}^{-n!}\mathrm{.}$$

(Σημείωση: Ο Λιουβίλ χρησιμοποίησε αυτόν τον αριθμό για να δώσει το πρώτο παράδειγμα υπερβατικού αριθμού.)