Το Παράδοξο των Γενεθλίων: Γιατί 23 Άτομα Αρκούν

Στα μαθηματικά των πιθανοτήτων υπάρχει ένα πρόβλημα που πάντα εντυπωσιάζει: το παράδοξο των γενεθλίων. Το ερώτημα είναι απλό:

Πόσα άτομα χρειάζονται σε μια αίθουσα ώστε η πιθανότητα να έχουν δύο τουλάχιστον το ίδιο γενέθλιο να είναι μεγαλύτερη από 50%;

Η απάντηση είναι απρόσμενη: μόλις 23 άτομα!

Πώς Υπολογίζεται

Αντί να υπολογίσουμε κατευθείαν την πιθανότητα ότι δύο άτομα έχουν το ίδιο γενέθλιο, είναι πιο εύκολο να βρούμε την αντίθετη περίπτωση: ότι όλα τα γενέθλια είναι

διαφορετικά.

1. Το πρώτο άτομο μπορεί να έχει οποιοδήποτε γενέθλιο → πιθανότητα 365/365.

2. Το δεύτερο πρέπει να έχει διαφορετικό → πιθανότητα 364/365.

3. Το τρίτο → 363/365.

4. Συνεχίζουμε μέχρι το 23ο άτομο.

Η πιθανότητα όλα να είναι διαφορετικά είναι:

$$P=\frac{365}{365}\times \frac{364}{365}\times \frac{363}{365}\times \cdots \times \frac{343}{365}\approx 0.4927$$

Άρα, η πιθανότητα να υπάρχει τουλάχιστον ένα ζευγάρι με ίδιο γενέθλιο είναι:

$$1-P\approx 0.5073(>50\mathrm{\%})\mathrm{.}$$

Γιατί Είναι Παράδοξο;

Το αποτέλεσμα φαίνεται «παράλογο» γιατί το μυαλό μας συνήθως συγκρίνει το δικό μας γενέθλιο με τα υπόλοιπα. Όμως το πρόβλημα συγκρίνει όλα τα πιθανά ζευγάρια. Σε μια ομάδα 23 ατόμων, υπάρχουν 253 πιθανά ζευγάρια, κάτι που αυξάνει δραματικά τις πιθανότητες.

Εφαρμογές

• Κρυπτογραφία: Το παράδοξο εξηγεί γιατί σε hash functions (π.χ. MD5, SHA) μπορεί να βρεθούν collisions πολύ πιο γρήγορα απ’ ό,τι νομίζουμε.

• Στατιστική: Χρησιμοποιείται για να δείξει τη διαφορά ανάμεσα στη διαίσθηση και την πραγματική πιθανότητα.