Τι κρύβεται πέρα από το 6 και το 28; — Το μυστήριο των τέλειων αριθμών

Οι τέλειοι αριθμοί γοήτευαν τους μαθηματικούς από την αρχαιότητα. Ο Νικόμαχος ο Γερασηνός (1ος αιώνας μ.Χ.) έγραφε ότι «οι τέλειοι αριθμοί είναι όμορφοι, αλλά εξαιρετικά σπάνιοι». Ο πρώτος γνωστός τέλειος αριθμός ήταν το 6, ακολουθούμενος από το 28.

Η ιδιαιτερότητά τους βρίσκεται στο ότι ισούνται με το άθροισμα των θετικών διαιρετών τους:

$$6=1+2+3$$$$28=1+2+4+7+14$$

Ο Ευκλείδης απέδειξε ότι, αν $2^p - 1$ είναι πρώτος, τότε ο αριθμός:

$$2^{p-1}\cdot (2^p-1)$$

είναι τέλειος. Με αυτή τη μέθοδο, οι πρώτοι τέλειοι αριθμοί είναι:

• Για $p=2$: $6$
  

• Για $p=3$: $28$
  

• Για $p=5$: $496$
  

• Για $p=7$: $8128$
  

Για πάνω από 1.500 χρόνια, αυτοί ήταν οι μόνοι γνωστοί τέλειοι αριθμοί. Το μυστήριο συνεχίζεται ακόμα και σήμερα, καθώς παραμένει άγνωστο αν υπάρχουν άπειροι τέτοιοι αριθμοί ή ποια είναι η πλήρης κατανομή τους.

Οι τέλειοι αριθμοί συνδέουν την ιστορία, τη γεωμετρία, την αριθμητική και τη θεωρία αριθμών με έναν εντυπωσιακό τρόπο, γοητεύοντας μαθηματικούς και ερασιτέχνες εδώ και αιώνες.