Η Ανισότητα του Bernoulli και η Χρήση της στη Λύση Εξισώσεων

Ανισότητα Bernoulli

Για κάθε πραγματικό $x > -1$ και ακέραιο $r$:

• Αν $r < 0$ ή $r > 1$, τότε $(1+x)^r \geq 1 + rx$
  

• Αν $0 < r < 1$, τότε $(1+x)^r \leq 1 + rx$
  

Η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν $x = 0$.

---

Παράδειγμα Εφαρμογής

Να λυθεί η εξίσωση:

$$\sqrt[3]{1-\frac{x}{3}}+\sqrt[6]{x+1}={(1-\frac{x}{24})}^4+{(1+\frac{x}{36})}^6,x\in [-1,3]\mathrm{.}$$

Λύση:
Η εξίσωση γράφεται ως:

$${(1-\frac{x}{3})}^{\frac{1}{2}}+(x+1{)}^{\frac{1}{6}}={(1-\frac{x}{24})}^4+{(1+\frac{x}{36})}^6\mathrm{.}$$

Χρησιμοποιώντας την ανισότητα Bernoulli έχουμε:

$${(1-\frac{x}{3})}^{\frac{1}{2}}+(x+1{)}^{\frac{1}{6}}\le 1-\frac{x}{6}+1+\frac{x}{6}=2,$$$${(1-\frac{x}{24})}^4+{(1+\frac{x}{36})}^6\ge 1-\frac{x}{6}+1+\frac{x}{6}=2.$$

Άρα η ισότητα ισχύει μόνο όταν και τα δύο μέλη είναι ίσα με 2. Αυτό συμβαίνει μόνο για $x = 0$.

Λύση: x=0.