EisatoponAI: Από πού προέρχονται το «𝑖» και οι φανταστικοί αριθμοί;

Από την αρχαιότητα οι αριθμοί χρησίμευαν για μέτρηση και καταγραφή. Όμως, σε κάθε εποχή εμφανίζονταν προβλήματα που απαιτούσαν τη δημιουργία νέων συνόλων αριθμών: οι αρνητικοί για να κάνουμε αφαιρέσεις, οι δεκαδικοί για να εκφράσουμε κλάσματα, οι ρητοί για ακριβείς αναλογίες και οι άρρητοι για ποσότητες όπως το π.

Στην πορεία, προέκυψε κάτι ακόμα πιο παράξενο: οι φανταστικοί αριθμοί, με σύμβολο το 𝑖.

Η ανάγκη για νέους αριθμούς

Οι φυσικοί αριθμοί ℕ επαρκούν για να μετράμε αντικείμενα.
Οι σχετικοί αριθμοί ℤ χρειάστηκαν όταν εμφανίστηκαν οι «αρνητικές» καταστάσεις (π.χ. χρέη).
Οι δεκαδικοί και ρητοί (𝔻, ℚ) κάλυψαν το κενό μεταξύ ακεραίων.
Οι πραγματικοί ℝ πρόσθεσαν τους άρρητους αριθμούς όπως √2 και π.

Όμως, μια απλή εξίσωση όπως x² = −1 δεν έχει λύση στους πραγματικούς αριθμούς. Έτσι γεννήθηκε η ιδέα του φανταστικού αριθμού.

Ορισμός του 𝑖

Το 𝑖 είναι ένας νέος αριθμός που ορίστηκε ώστε:

$i^{2} = - 1$

Με αυτόν τον ορισμό, μπορούμε να λύνουμε εξισώσεις που πριν θεωρούνταν αδύνατες. Για παράδειγμα:

$x^{2} = - 4 \Rightarrow x = \pm 2 i$

Οι μιγαδικοί αριθμοί

Ένας γενικός αριθμός της μορφής:

$z = a + b i$

ονομάζεται μιγαδικός αριθμός, όπου a είναι το πραγματικό μέρος και b το φανταστικό μέρος. Το σύνολο αυτών των αριθμών συμβολίζεται με ℂ.

Το μιγαδικό επίπεδο

Οι πραγματικοί αριθμοί βρίσκονται σε μια ευθεία γραμμή. Οι μιγαδικοί απαιτούν ένα επίπεδο:

ο οριζόντιος άξονας αντιστοιχεί στους πραγματικούς,
ο κάθετος στους καθαρά φανταστικούς.

Κάθε μιγαδικός αριθμός αντιστοιχεί σε ένα σημείο ή σε ένα διάνυσμα πάνω σε αυτό το επίπεδο.

Τριγωνομετρική και εκθετική μορφή

Ένας μιγαδικός μπορεί να γραφεί με πολικές συντεταγμένες:

$z = ρ (\cos θ + i \sin θ)$

ή με τον κομψό τύπο του Euler:

$z = ρ e^{i θ}$

Από αυτή τη σχέση προκύπτει και η διάσημη εξίσωση του Euler:

$e^{i π} + 1 = 0$

που συνδέει πέντε θεμελιώδεις σταθερές των μαθηματικών.

Εφαρμογές

Οι μιγαδικοί αριθμοί δεν είναι απλώς μια αφηρημένη μαθηματική κατασκευή:

Στη φυσική περιγράφουν κύματα, ταλαντώσεις και ηλεκτρικά ρεύματα.
Στην ηλεκτρολογία χρησιμοποιούνται για την ανάλυση εναλλασσόμενων ρευμάτων.
Στην πληροφορική εμφανίζονται στην επεξεργασία σήματος και στις γραφικές παραστάσεις.
Στην κβαντική μηχανική και στη θεωρία της σχετικότητας δίνουν εργαλεία για την κατανόηση της φύσης.

Πέρα από το 𝑖

Η ίδια λογική οδήγησε στη δημιουργία ακόμα πιο εξωτικών αριθμών:

τα τεταρτημόρια (ℍ) με τρεις φανταστικές μονάδες (i, j, k),
τα οκτόνια (𝕆) και άλλες γενικεύσεις.

Αυτά βρίσκουν εφαρμογές στη θεωρητική φυσική και στα μαθηματικά υψηλού επιπέδου.

Συμπέρασμα

Οι φανταστικοί αριθμοί πήραν το όνομά τους γιατί αρχικά θεωρήθηκαν «ανύπαρκτοι». Σήμερα ξέρουμε ότι είναι απολύτως πραγματικοί και απαραίτητοι για την κατανόηση του κόσμου μας. Από την ηλεκτρονική μέχρι την κοσμολογία, το μικρό σύμβολο 𝑖 αποδεικνύεται ένας από τους πιο ισχυρούς «πραγματικούς» αριθμούς.