Ψηφίζουν οι Λαοί Σωστά; Τα Μαθηματικά της Δημοκρατίας και τα Παράδοξα της Ψήφου

Οι εκλογές είναι η καρδιά της δημοκρατίας. Οι πολίτες καλούνται να αποφασίσουν για το μέλλον τους, να κρίνουν κυβερνήσεις και να επιλέξουν πορεία.

Αλλά ψηφίζουν οι λαοί σωστά;

Ή μήπως, πολλές φορές, η συλλογική βούληση οδηγεί σε λανθασμένα ή απρόβλεπτα αποτελέσματα;

Για να απαντήσουμε, θα επιστρατεύσουμε μαθηματικά, στατιστική, θεωρία παιγνίων και ιστορικά παραδείγματα.

1) Η Θεωρία του Ορθολογικού Ψηφοφόρου

Σύμφωνα με την Rational Choice Theory, κάθε ψηφοφόρος επιλέγει αυτό που πιστεύει ότι μεγιστοποιεί το προσωπικό του όφελος. Μαθηματικά, η απόφαση ενός ψηφοφόρου \(i\) περιγράφεται ως:

$$V_i = \arg\max_{c \in C} U_i(c)$$

Όπου:

• \(C\): το σύνολο των κομμάτων ή υποψηφίων
• \(U_i(c)\): η χρησιμότητα που αποδίδει ο ψηφοφόρος \(i\) στην επιλογή \(c\)

Όμως, στην πράξη, οι ψηφοφόροι δεν έχουν τέλεια πληροφόρηση. Τα ΜΜΕ, η προπαγάνδα, τα fake news και ο λαϊκισμός παραμορφώνουν την αντίληψή τους, με αποτέλεσμα η επιλογή να μην είναι πάντα «ορθολογική».

2) Το Θεώρημα του Condorcet — Σοφία του Πλήθους

Ο μαθηματικός Marquis de Condorcet απέδειξε ότι, υπό προϋποθέσεις, οι πολλοί παίρνουν καλύτερες αποφάσεις από τους λίγους. Το Condorcet Jury Theorem λέει:

Αν κάθε ψηφοφόρος έχει πιθανότητα \(p > 0.5\) να κάνει τη «σωστή» επιλογή, τότε όσο αυξάνει ο αριθμός των ψηφοφόρων \(n\), η πιθανότητα το συνολικό αποτέλεσμα να είναι σωστό τείνει στο 1.

$$P(\text{σωστό αποτέλεσμα})=\sum_{k=\lceil n/2 \rceil}^{n}\binom{n}{k} p^k(1-p)^{n-k}$$

Παράδειγμα:

• Αν \(p = 0.6\) και \(n = 1.000.000\), το σωστό αποτέλεσμα είναι σχεδόν βέβαιο (>99.9%).
• Αν \(p = 0.49\), το αποτέλεσμα τείνει στο λάθος, όσο κι αν αυξάνεται το πλήθος.

3) Παράδοξα της Δημοκρατίας

α) Παράδοξο του Condorcet

Μπορεί να μην υπάρχει κανένας υποψήφιος που να κερδίζει σε όλες τις συγκρίσεις. Παράδειγμα:

• 35%: \(A > B > C\)
• 33%: \(B > C > A\)
• 32%: \(C > A > B\)

Δεν υπάρχει «νικητής» που να ικανοποιεί όλους — το εκλογικό σύστημα πρέπει να επιλέξει κριτήριο.

β) Θεώρημα Αδυνατότητας του Arrow

Ο νομπελίστας Kenneth Arrow απέδειξε ότι δεν υπάρχει τέλειο εκλογικό σύστημα που να ικανοποιεί ταυτόχρονα όλα τα δίκαια κριτήρια. Συνεπώς, η ίδια ψήφος μπορεί να δώσει διαφορετικό αποτέλεσμα αν αλλάξει ο εκλογικός κανόνας.

γ) Παράδοξο της «Χαμένης Ψήφου»

Πολλοί ψηφοφόροι επιλέγουν όχι το κόμμα που θέλουν, αλλά αυτό που έχει μεγαλύτερη πιθανότητα νίκης, αλλοιώνοντας έτσι τη «γνήσια» βούληση του εκλογικού σώματος.

4) Ιστορικά Παραδείγματα «Σωστής» και «Λάθος» Ψήφου

• 1933 — Γερμανία: Εκλογή Χίτλερ → Υπόσχεση σταθερότητας → Οδήγησε στον Β΄ Παγκόσμιο Πόλεμο
• 2015 — Ελλάδα: Δημοψήφισμα «Όχι» → Απόρριψη μέτρων → Σκληρότερα μέτρα
• 2016 — Ην. Βασίλειο: Brexit → «Ανεξαρτησία» → Οικονομική αβεβαιότητα
• 2020 — Ν. Ζηλανδία: Σκληρά μέτρα COVID → Λουκέτα & περιορισμοί → Θεωρείται επιτυχές μοντέλο

Τα παραδείγματα είναι ενδεικτικά. Το “σωστό” και το “λάθος” κρίνονται πάντοτε εκ των υστέρων.

Συμπέρασμα

Οι λαοί δεν ψηφίζουν πάντα σωστά. Η θεωρία λέει ότι η σοφία του πλήθους μπορεί να οδηγήσει σε ορθά αποτελέσματα, αλλά στην πράξη η παραπληροφόρηση, η προπαγάνδα, τα εκλογικά παράδοξα και η ανθρώπινη ψυχολογία οδηγούν συχνά σε αποφάσεις που αργότερα αποδεικνύονται λανθασμένες.

Ίσως το ερώτημα δεν είναι αν οι λαοί ψηφίζουν σωστά, αλλά πόσο σωστά τους αφήνουν να ψηφίζουν.