Πώς Υπολογίζουμε Τετραγωνικές Ρίζες Χωρίς Κομπιουτεράκι;

Πολλοί μαθητές μας ρωτούν:

«Γίνεται να βρω την τετραγωνική ρίζα ενός αριθμού χωρίς υπολογιστή ή αριθμομηχανή;»

Η απάντηση είναι «ναι» — υπάρχουν αρκετές μέθοδοι, άλλες πιο γρήγορες, άλλες πιο αργές αλλά πιο διδακτικές.

---

Απάντηση

🔹 Μέθοδος 1 (δοκιμή και σφάλμα – χωρίς διαίρεση)

Για $\sqrt{75}$:

• Ξέρουμε ότι $8^2 = 64$ και $9^2 = 81$, άρα η ρίζα είναι μεταξύ 8 και 9.

• Δοκιμάζουμε 8.5 → $8.5^2 = 72.25$ (λίγο μικρότερο).

• Δοκιμάζουμε 8.7 → $8.7^2 = 75.69$ (λίγο μεγαλύτερο).

• Συνεχίζουμε μέχρι να βρούμε όση ακρίβεια θέλουμε.

Για τέλεια τετράγωνα υπάρχει κόλπο με τα περιττά: αφαιρούμε 1, 3, 5, 7… ώσπου να μηδενιστεί το αποτέλεσμα. Ο αριθμός αφαιρέσεων = τετραγωνική ρίζα.

Παράδειγμα:
36 – 1 = 35
35 – 3 = 32
32 – 5 = 27
27 – 7 = 20
20 – 9 = 11
11 – 11 = 0 → έγιναν 6 αφαιρέσεις, άρα $\sqrt{36} = 6$.

---

🔹 Μέθοδος 2 (με διαίρεση – πιο γρήγορη)

Γνωστή και ως μέθοδος του Νεύτωνα.

• Υποθέτουμε αρχικά 8.5.

• Υπολογίζουμε $75 / 8.5 ≈ 8.8235$.

• Παίρνουμε τον μέσο όρο: $(8.5 + 8.8235)/2 = 8.66175$.

• Αν ξαναεπαναλάβουμε, φτάνουμε στο 8.6603, που είναι σχεδόν ακριβές.

---

🔹 Μέθοδος 3 (γρήγορος τύπος)

$$\sqrt{X} \approx \sqrt{S} + \frac{X - S}{2\sqrt{S}}$$

όπου $S$ είναι το κοντινότερο τέλειο τετράγωνο στο $X$.

Για $\sqrt{75}$, το κοντινότερο είναι το 81. Άρα:

$$\sqrt{75}\approx 9+\frac{75-81}{18}=9-0.333=\mathrm{8.667}$$

Αρκετά καλή προσέγγιση με έναν μόνο υπολογισμό!

---

🔹 Συντόμευση (παραγοντοποίηση)

Επειδή 75 = 25 × 3, τότε

$$\sqrt{75} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{3} = 5\sqrt{3}$$

Έτσι, απλοποιούμε το πρόβλημα στο να γνωρίζουμε το $\sqrt{3}$.