Ναρκισσιστικοί Αριθμοί και Άλλες Μαθηματικές Περιέργειες

Ένας μαθητής στο σχολείο παρατήρησε ότι:

$$153, \; 370, \; 371, \; 407$$

είναι όλοι ίσοι με το άθροισμα των κύβων των ψηφίων τους.

Για παράδειγμα:

$$153 = 1^3 + 5^3 + 3^3 = 1 + 125 + 27$$

Αυτό τον οδήγησε να κάνει στον καθηγητή τους την ερώτηση: Υπάρχουν άραγε αριθμοί που να ισούνται με το άθροισμα των τετάρτων δυνάμεων των ψηφίων τους;

---

Απάντηση

Αυτοί οι αριθμοί ονομάζονται ναρκισσιστικοί αριθμοί. Ένας αριθμός με $N$ ψηφία λέγεται ναρκισσιστικός αν ισούται με το άθροισμα των ψηφίων του υψωμένων στη $N$-οστή δύναμη.

Υπάρχουν 88 ναρκισσιστικοί αριθμοί συνολικά. Οι τριψήφιοι είναι οι: 153, 370, 371, 407.

---

Παραδείγματα με 4ψήφιους

• $1634 = 1^4 + 6^4 + 3^4 + 4^4$

• $8208 = 8^4 + 2^4 + 0^4 + 8^4$

• $9474 = 9^4 + 4^4 + 7^4 + 4^4$

---

Μεγαλύτερα παραδείγματα

• $54748, 92727, 93084$(5ψήφιοι)

• $548834$ (6ψήφιος)

• $1741725, 4210818, 9800817, 9926315$(7ψήφιοι)

• $24678050$(8ψήφιος)

• $146511208, 472335975, 534494836, 912985153$(9ψήφιοι)

• $4679307774$(10ψήφιος)

Ο μεγαλύτερος γνωστός ναρκισσιστικός αριθμός έχει 39 ψηφία:

$$115132219018763992565095597973971522401$$

---

Παραλλαγές – Άλλες Μαθηματικές Περιέργειες

• Ισότητα με εκθέτες τα ίδια τα ψηφία:

  $$3435 = 3^3 + 4^4 + 3^3 + 5^5.$$

• Ισότητα με παραγοντικά ψηφίων (factorions):

  $$40585 = 4! + 0! + 5! + 8! + 5!$$

  Επίσης:

  $$145 = 1! + 4! + 5!.$$

• Μικρά «όμορφα» παραδείγματα:

  $$3^3 + 4^3 + 5^3 = 6^3$$$$8^1 + 9^2 = 89$$$$1^1 + 3^2 + 5^3 = 135$$$$1^1 + 3^2 + 0^3 + 6^4 = 1306$$

---

Συμπέρασμα

Οι ναρκισσιστικοί αριθμοί είναι σπάνιοι και όμορφοι, με ιδιαίτερη αισθητική συμμετρία. Δείχνουν πώς τα μαθηματικά μπορούν να κρύβουν εκπλήξεις ακόμα και μέσα στα… ίδια τους τα ψηφία!