Το Παράδοξο Burali–Forti: Γιατί δεν μπορεί να υπάρξει το «μεγαλύτερο άπειρο»

Το άπειρο είναι από μόνο του μια έννοια που προκαλεί δέος και ερωτήματα. Όμως στα μαθηματικά τα πράγματα γίνονται ακόμη πιο παράξενα όταν μπαίνουν στο παιχνίδι τα τακτικά αριθμητικά (ordinals). Ενώ οι κοινοί αριθμοί μετρούν ποσότητες, οι ordinals μετρούν τη σειρά: πρώτος, δεύτερος, τρίτος… και αυτό συνεχίζεται ακόμη και όταν οι αριθμοί γίνονται άπειροι.

Ο Georg Cantor εισήγαγε τον πρώτο άπειρο τακτικό αριθμό, το

$$\omega =\{0,1,2,3,\dots \},$$

που αντιπροσωπεύει τον τύπο διάταξης όλων των φυσικών αριθμών. Αλλά τα ordinals δεν σταματούν στο $\omega$. Υπάρχουν τα $\omega+1$, $\omega+2$, $\omega \cdot 2$, και ούτω καθεξής. Δεν υπάρχει ποτέ πραγματικό «τέλος».

Το Παράδοξο του Burali–Forti

Το 1897, ο Cesare Burali–Forti έθεσε μια απλή αλλά καταλυτική ερώτηση:
Τι θα συνέβαινε αν προσπαθούσαμε να συγκεντρώσουμε όλους τους ordinals σε ένα σύνολο;

Η απάντηση είναι πως η προσπάθεια αυτή καταρρέει. Αν υποθέσουμε ότι υπάρχει ένα τέτοιο σύνολο όλων των ordinals, τότε αυτό το σύνολο θα είναι και το ίδιο ένα ordinal. Και αν είναι ordinal, θα πρέπει να έχει έναν διάδοχο ($x+1$). Αλλά τότε αυτός ο διάδοχος θα έπρεπε να περιέχεται ήδη στο «σύνολο όλων των ordinals», οδηγώντας σε αντίφαση:

$$x\ge x+1\text{και}x<x+1.$$

Η Λύση

Η σύγχρονη θεωρία συνόλων έλυσε το πρόβλημα διαχωρίζοντας τα σύνολα από τις ορθές κλάσεις (proper classes).

• Ένα σύνολο είναι μια συλλογή που μπορούμε να τη χειριστούμε ως μαθηματικό αντικείμενο.

• Μια ορθή κλάση είναι τόσο μεγάλη που δεν μπορεί να θεωρηθεί σύνολο.

Οι ordinals αποτελούν μια τέτοια κλάση. Μπορούμε να μιλάμε για την «κλάση όλων των ordinals», αλλά όχι για το «σύνολο όλων των ordinals». Έτσι, το υποτιθέμενο «μεγαλύτερο ordinal» δεν υπάρχει.

Τι μας διδάσκει

Το Παράδοξο Burali–Forti υπενθυμίζει κάτι κρίσιμο: το γεγονός ότι μπορούμε να περιγράψουμε κάτι με λόγια δεν σημαίνει ότι αυτό υπάρχει μέσα στο αυστηρό μαθηματικό σύμπαν. Κάθε φορά που προσπαθούμε να περιορίσουμε το άπειρο σε ένα «τελικό όλον», εκείνο ξεφεύγει και διαλύει την κατασκευή μας.