Ανισότητα Εμπνευσμένη από την Cauchy–Schwarz

Έστω συνάρτηση $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ συνεχής. Να αποδείξετε ότι \[ \left(\int_a^b f(x)\,dx\right)^{4} \le (b-a)^2\left(\int_a^b e^{x}f(x)^2\,dx\right) \left(\int_a^b \frac{f(x)^2}{e^{x}}\,dx\right). \] Proposed by Mihaela Berindeanu, Bucharest, Romania