Ο Κανόνας των Προσήμων του Descartes

Ο κανόνας των προσήμων του Descartes είναι ένα κλασικό εργαλείο της Άλγεβρας που μας επιτρέπει να προβλέψουμε τον αριθμό των πραγματικών ριζών (θετικών ή αρνητικών) ενός πολυωνύμου, εξετάζοντας μόνο τα πρόσημα των συντελεστών του.

Διατύπωση του Κανόνα

Για ένα πολυώνυμο με πραγματικούς συντελεστές:

$$P(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0,$$

• Ο αριθμός των θετικών ριζών (μετρώντας με τη πολλαπλότητα) είναι ίσος με τον αριθμό των αλλαγών προσήμου στη διαδοχή $(a_n, a_{n-1}, \ldots, a_0)$, ή μικρότερος από αυτόν κατά άρτιο αριθμό.

• Ο αριθμός των αρνητικών ριζών προκύπτει εφαρμόζοντας τον ίδιο κανόνα στο πολυώνυμο $P(-x)$.

Ερμηνεία

• Καμία αλλαγή προσήμου σημαίνει ότι το πολυώνυμο δεν έχει θετικές ρίζες.

• Μία αλλαγή προσήμου σημαίνει ακριβώς μία θετική ρίζα.

• Πολλές αλλαγές προσήμου σημαίνουν ότι ο αριθμός των θετικών ριζών είναι είτε ίσος με αυτόν τον αριθμό είτε μικρότερος κατά κάποιο άρτιο αριθμό.

Παράδειγμα

Έστω το πολυώνυμο

$$P(x)=x^3-6x^2+11x-6.$$

Οι συντελεστές είναι $(1, -6, 11, -6)$. Εδώ έχουμε τρεις αλλαγές προσήμου: $+ \to - \to + \to -$.
Σύμφωνα με τον κανόνα του Descartes, το πολυώνυμο έχει:

• είτε 3 θετικές ρίζες,

• είτε 1 θετική ρίζα (3-2).

Πράγματι, οι ρίζες είναι $x = 1, 2, 3$, όλες θετικές.