Το Ολοκλήρωμα του Frullani: Η Κομψή Ταυτότητα των Απείρων Ολοκληρωμάτων

Το ολοκλήρωμα του Frullani είναι ένα από τα πιο κομψά αποτελέσματα του μαθηματικού ανάλυσης και πήρε το όνομά του από τον Ιταλό μαθηματικό Giulio Frullani (1801 – 1863). Εισήχθη στις αρχές του 19ου αιώνα και χρησιμοποιείται για την αξιολόγηση ορισμένων απείρων ολοκληρωμάτων, τα οποία διαφορετικά θα ήταν πολύ πιο δύσκολο να υπολογιστούν.

Η θεμελιώδης ταυτότητα του Frullani σχετίζεται με την ολοκλήρωση της διαφοράς πηλίκου σε άπειρο διάστημα και εμφανίζεται σε πολλούς τομείς, από τη θεωρία ολοκληρωμάτων μέχρι και τη θεωρία πιθανοτήτων.

---

Η Ταυτότητα του Frullani

Η βασική μορφή της ταυτότητας είναι:

$${\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{f(ax)-f(bx)}{x}dx=(f(0)-f(\mathrm{\infty }))\cdot \ln \text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{b}{a}\right)$$

όπου:

• $f(x)$ είναι μια συνεχής και παραγωγίσιμη συνάρτηση στο $(0, \infty)$,

• $a > 0$ και $b > 0$ είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί,

• και το όριο $f(\infty) = \lim_{x \to \infty} f(x)$ πρέπει να υπάρχει.

---

Απλή Περίπτωση

Μια ιδιαίτερα κομψή εφαρμογή εμφανίζεται όταν $f(x) = e^{-x}$:

$${\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{e^{-ax}-e^{-bx}}{x}dx=\ln \text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{b}{a}\right)$$

Αυτό το αποτέλεσμα είναι εξαιρετικά χρήσιμο στη θεωρία πιθανοτήτων, καθώς συνδέεται με την εκθετική κατανομή.

---

Παράδειγμα Υπολογισμού

Παράδειγμα:
Υπολογίστε το ολοκλήρωμα:

$$I={\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{\sin (ax)-\sin (bx)}{x}dx$$

Λύση:
Θέτουμε $f(x) = \sin x$, για το οποίο έχουμε $f(0) = 0$ και $f(\infty) = 0$ (λόγω της μέσης τιμής).
Η ταυτότητα του Frullani δίνει:

$$I=(f(0)-f(\mathrm{\infty }))\cdot \ln \text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{b}{a}\right)=0$$

---

Ιστορική Σημασία

Ο Giulio Frullani παρουσίασε το αποτέλεσμα το 1821, το οποίο θεωρείται ορόσημο της εποχής του. Η απλότητα και η γενικότητά του έκαναν το ολοκλήρωμα αυτό πολύτιμο εργαλείο για μαθηματικούς, φυσικούς και μηχανικούς.

---

Συμπέρασμα

Το ολοκλήρωμα του Frullani αποτελεί ένα από τα πιο εντυπωσιακά παραδείγματα της δύναμης της ανάλυσης. Με μια απλή αλλά ισχυρή ταυτότητα, επιτρέπει την επίλυση πολύπλοκων ολοκληρωμάτων που εμφανίζονται σε διάφορους κλάδους των μαθηματικών και της φυσικής.