Ανισότητα Hölder
Διατύπωση. Έστω \(p>1\) και \(q=\dfrac{p}{p-1}\) (συζυγείς εκθέτες). Για πραγματικούς (ή μιγαδικούς) αριθμούς \(a_1,\ldots,a_n\) και \(b_1,\ldots,b_n\) ισχύει: \[ \sum_{i=1}^{n} |a_i b_i| \;\le\; \Big(\sum_{i=1}^{n} |a_i|^{p}\Big)^{1/p} \Big(\sum_{i=1}^{n} |b_i|^{q}\Big)^{1/q}. \]
Απόδειξη (με την ανισότητα Young)
Θέτουμε \(A=\sum_{i=1}^{n}|a_i|^{p}\) και \(B=\sum_{i=1}^{n}|b_i|^{q}\). Αν \(A=0\) ή \(B=0\), τότε όλα τα αντίστοιχα \(a_i\) ή \(b_i\) είναι μηδέν, άρα \(\sum|a_i b_i|=0\) και η ανισότητα ισχύει τετριμμένα. Υποθέτουμε στο εξής \(A>0\) και \(B>0\).
Ορίζουμε τα κανονικοποιημένα \[ u_i=\frac{|a_i|}{A^{1/p}},\qquad v_i=\frac{|b_i|}{B^{1/q}},\qquad i=1,\ldots,n. \] Τότε \(\sum u_i^{p}=1\) και \(\sum v_i^{q}=1\).
Η ανισότητα Young για συζυγείς εκθέτες \(p,q\) λέει ότι \(xy\le \dfrac{x^{p}}{p}+\dfrac{y^{q}}{q}\) για κάθε \(x,y\ge 0\). Εφαρμόζοντάς την στα ζεύγη \((u_i,v_i)\) και αθροίζοντας, παίρνουμε \[ \sum_{i=1}^{n} u_i v_i \le \frac{1}{p}\sum u_i^{p}+\frac{1}{q}\sum v_i^{q} =\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1. \] Επομένως, \[ \sum_{i=1}^{n} |a_i b_i| = \sum A^{1/p}u_i \, B^{1/q}v_i = A^{1/p} B^{1/q} \sum u_i v_i \le A^{1/p} B^{1/q}, \] δηλαδή \[ \sum_{i=1}^{n} |a_i b_i| \le \Big(\sum |a_i|^{p}\Big)^{1/p} \Big(\sum |b_i|^{q}\Big)^{1/q}. \] Η ανισότητα Hölder αποδείχθηκε.
Συνθήκη Ισότητας
Στην Young έχουμε ισότητα τότε και μόνο τότε όταν \(x^{p}=y^{q}\). Άρα για κάθε \(i\) με \(a_i,b_i\neq 0\), \[ u_i^{p}=v_i^{q} \;\Longleftrightarrow\; \frac{|a_i|^{p}}{A}=\frac{|b_i|^{q}}{B} \;\Longleftrightarrow\; |a_i|^{p}=\lambda\,|b_i|^{q} \] για κάποια σταθερά \(\lambda=A/B\). Δηλαδή τα διανύσματα \(\big(|a_i|^{p}\big)\) και \(\big(|b_i|^{q}\big)\) είναι ανάλογα (και, για πραγματικούς, τα γινόμενα \(a_i b_i\) έχουν κοινό πρόσημο όπου δεν είναι μηδέν).
Σημ.: Η ίδια απόδειξη ισχύει και για μιγαδικούς αριθμούς με απόλυτες τιμές.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου