Ποια Είναι η Τετραγωνική Ρίζα του i; Και Άλλες Περίεργες Ρίζες!

«Αν το i είναι η τετραγωνική ρίζα του $-1$, τότε ποια είναι η τετραγωνική ρίζα του ίδιου του $i$;»

Η ερώτηση αυτή άνοιξε τον δρόμο για ακόμη περισσότερα «παράξενα» ερωτήματα: ποια είναι η κυβική ρίζα του $i$; Η τέταρτη; Η πέμπτη; Και τι γίνεται με εκφράσεις όπως $i^i$;

Απάντηση

Η τετραγωνική ρίζα του $i$ είναι:

$$\sqrt{i} = \frac{1+i}{\sqrt{2}}$$Αν υψώσουμε το $\frac{1+i}{\sqrt{2}}$ στο τετράγωνο, πράγματι παίρνουμε $i$.

🔹 Η κυβική ρίζα του $i$

Υπάρχουν τρεις κυβικές ρίζες, μία από τις οποίες είναι απλώς $-i$.

Πράγματι:

$$(-i)^3 = i$$

---

🔹 Η τέταρτη ρίζα του $i$

Πιο περίπλοκη, αλλά υπολογίσιμη: προκύπτει από τον γενικό τύπο ριζών μιγαδικών αριθμών (τύπος de Moivre).

🔹 Η πέμπτη ρίζα του $i$

Επειδή $i^5 = i$, μία από τις απαντήσεις είναι απλώς το ίδιο το $i$.

Υπάρχουν όμως και άλλες λύσεις (π.χ. $0.951056516+0.309016994i$).

---

🔹 Κι άλλες ερωτήσεις για το $i$

• Ποια είναι η $\sqrt{-i}$;
  $\sqrt{-i} = \frac{i-1}{\sqrt{2}}$.

• Τι σημαίνει $-i^2$;
  Προσοχή στις παρενθέσεις:

  • $(-i)^2 = -1$

  • $-(i^2) = +1$

• Τι είναι το $^i$;
  Απίστευτο αλλά αληθινό: είναι ένας πραγματικός αριθμός περίπου ίσος με

  $$i^i \approx 0.207879576...$$

Και μάλιστα, δεν υπάρχει μόνο μία απάντηση – αλλά άπειρες, λόγω της μιγαδικής εκθετικής συνάρτησης (Euler).