Η Σειρά Maclaurin της Ημιτονοειδούς Συνάρτησης

Η σειρά Maclaurin είναι μια ειδική περίπτωση της σειράς Taylor γύρω από το σημείο x=0. Χρησιμοποιείται για να προσεγγίσουμε πολύπλοκες συναρτήσεις με πολυώνυμα. Εδώ θα δούμε πώς εφαρμόζεται στη συνάρτηση sin(x).

Ο Γενικός Τύπος της Σειράς Maclaurin

Για μια συνάρτηση $f(x)$, η σειρά Maclaurin δίνεται από:

$$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f^{(3)}(0)}{3!}x^3 + \cdots$$

Δηλαδή, εξαρτάται από τις παραγώγους της συνάρτησης στο σημείο $x=0$.

---

Παράγωγοι της $\sin(x)$

Η συνάρτηση μας είναι $f(x) = \sin(x)$.

Υπολογίζουμε διαδοχικά παραγώγους:

• $f(x) = \sin(x) \quad \Rightarrow \quad f(0) = 0$
  

• $f'(x) = \cos(x) \quad \Rightarrow \quad f'(0) = 1$
  

• $f''(x) = -\sin(x) \quad \Rightarrow \quad f''(0) = 0$
  

• $f^{(3)}(x) = -\cos(x) \quad \Rightarrow \quad f^{(3)}(0) = -1$
  

• $f^{(4)}(x) = \sin(x) \quad \Rightarrow \quad f^{(4)}(0) = 0$
  

Και συνεχίζουμε κυκλικά.

---

Η Σειρά Maclaurin για $\sin(x)$

Αντικαθιστώντας στον γενικό τύπο παίρνουμε:

$$\sin (x)=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots$$

Πρόκειται για μια άπειρη εναλλασσόμενη σειρά που συγκλίνει για κάθε πραγματικό $x$.

---

Εφαρμογή – Προσεγγίσεις

Αν κρατήσουμε λίγους όρους, έχουμε πολυωνυμικές προσεγγίσεις:

• 1ος όρος: $\sin(x) \approx x$ (καλή προσέγγιση για μικρά $x$)

• 3 όροι: $\sin(x) \approx x - \frac{x^3}{6}$

• 4 όροι: $\sin(x) \approx x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120}$

Όσο περισσότεροι όροι, τόσο μεγαλύτερη η ακρίβεια.

---

Σημασία

Η σειρά Maclaurin για τη $\sin(x)$:

• Είναι θεμέλιο της ανάλυσης Fourier.

• Επιτρέπει τον υπολογισμό προσεγγιστικών τιμών χωρίς υπολογιστή.

• Δείχνει πώς τα πολυώνυμα μπορούν να «μιμηθούν» τριγωνομετρικές συναρτήσεις με εντυπωσιακή ακρίβεια.