Ramanujan – Hardy: Η Ιστορία πίσω από τον Διάσημο Αριθμό 1729

Η ιστορία του Ραμανουτζάν, του Χάρντι και των “μαγικών” αθροισμάτων κύβων

Υπάρχουν αριθμοί που φαίνονται συνηθισμένοι, αλλά κρύβουν μαθηματικά μυστικά. Ένας τέτοιος είναι ο αριθμός 1729, γνωστός ως ο “αριθμός Hardy–Ramanujan” ή πρώτος αριθμός ταξί (Taxicab number).

Η ιστορία του έγινε διάσημη χάρη σε ένα περιστατικό ανάμεσα σε δύο μεγάλους μαθηματικούς: τον G. H. Hardy και τον Σρινιβάσα Ραμανουτζάν.

---

Η διάσημη ιστορία του 1729

Το 1919, ο Hardy επισκέφθηκε τον Ramanujan στο νοσοκομείο. Στη διάρκεια της επίσκεψης, είπε:

“Ήρθα με ταξί που είχε τον αριθμό 1729. Μου φάνηκε βαρετός αριθμός.”

Ο Ramanujan απάντησε αμέσως:

“Κάθε άλλο! Είναι πολύ ενδιαφέρων. Είναι ο μικρότερος αριθμός που μπορεί να εκφραστεί ως άθροισμα δύο κύβων με δύο διαφορετικούς τρόπους!”

Και πράγματι:

$$1729=1^3+{12}^3=9^3+{10}^3$$

Αυτό το περιστατικό έκανε τον αριθμό 1729 διάσημο και γέννησε την έννοια των Taxicab numbers.

---

Τι είναι οι Αριθμοί Ταξί (Taxicab Numbers)

Ο Taxicab αριθμός $\text{Ta}(n)$ ορίζεται ως ο μικρότερος θετικός αριθμός που μπορεί να εκφραστεί ως άθροισμα δύο θετικών κύβων με τουλάχιστον $n$ διαφορετικούς τρόπους.

Παραδείγματα:

• Ta(1) = 2

  $$2=1^3+1^3$$

• Ta(2) = 1729

  $$1729=1^3+{12}^3=9^3+{10}^3$$

• Ta(3) = 87,539,319

• Ta(4) = 6,963,472,309,248

  $$=2{421}^3+19{083}^3=5{436}^3+18{948}^3=10{200}^3+18{072}^3=13{322}^3+16{630}^3$$

Όσο μεγαλώνει το $n$, τόσο εκτοξεύεται το μέγεθος των αριθμών. Για παράδειγμα:

• Ta(5) έχει 17 ψηφία.

• Ta(6) έχει 23 ψηφία!

Γιατί ονομάζονται “Αριθμοί Ταξί”

Ο όρος “Taxicab numbers” επινοήθηκε από τον Hardy, προς τιμήν της ιστορίας με το ταξί και τον Ramanujan. Η ιδέα είναι ότι οι αριθμοί αυτοί είναι σαν μαθηματικά ταξί: υπάρχουν πολλοί διαφορετικοί δρόμοι (διαφορετικά ζεύγη κύβων) για να φτάσεις στον ίδιο προορισμό (τον αριθμό).

---

Η Κληρονομιά του Ramanujan

Η ιστορία του 1729 είναι χαρακτηριστική του πρωτότυπου πνεύματος του Ramanujan. Εκεί όπου οι άλλοι έβλεπαν κάτι ασήμαντο, εκείνος διέκρινε μοναδικές μαθηματικές ιδιότητες.

Σήμερα, οι αριθμοί ταξί συνεχίζουν να μελετώνται από μαθηματικούς και παραμένουν πρόκληση για την υπολογιστική θεωρία αριθμών.