Τι Είναι ο Λόγος (Ratio) στα Μαθηματικά; Ορισμός και Παραδείγματα

Ο λόγος είναι ένας μαθηματικός τρόπος για να συγκρίνουμε δύο ή περισσότερες ποσότητες. Αντί απλά να πούμε «ένα ποτήρι έχει περισσότερο νερό από ένα άλλο», ο λόγος μάς επιτρέπει να εκφράσουμε πόσο περισσότερη ή πόσο λιγότερη είναι μια ποσότητα σε σχέση με μια άλλη.

Ορισμός

Στα μαθηματικά, ο λόγος είναι το αποτέλεσμα μιας διαίρεσης. Αν έχουμε δύο ποσότητες $a$ και $b$:

$$\text{Λόγος}=\frac{a}{\mathrm{b}}$$

• Το πρώτο μέλος $a$ λέγεται προηγούμενο (antecedent).

• Το δεύτερο μέλος $b$ λέγεται επόμενο (consequent).

Παράδειγμα: Σε μια έρευνα, 13 άτομα προτιμούν το κέικ και 7 το παγωτό. Ο λόγος είναι:

$$13:7$$

---

Τύποι Λόγων

1. Μέρος προς Μέρος (Part-to-Part):
   Σύγκριση δύο κατηγοριών μέσα σε ένα σύνολο.

   • Παράδειγμα: Σε μια κλινική υπάρχουν 12 σκύλοι και 8 γάτες. Ο λόγος σκύλων προς γάτες είναι $12:8$, που απλοποιείται σε $3:2$.

2. Μέρος προς Όλο (Part-to-Whole):
   Σύγκριση μιας κατηγορίας με το συνολικό πλήθος.

   • Παράδειγμα: Στο ίδιο παράδειγμα, το σύνολο είναι 20 ζώα. Ο λόγος σκύλων προς όλα τα ζώα είναι $12:20$, που απλοποιείται σε $3:5$.

---

Παραδείγματα από την Καθημερινή Ζωή

• Ένα αυτοκίνητο ταξιδεύει 60 μίλια την ώρα → λόγος απόστασης προς χρόνο: $60:1$.

• Η πιθανότητα να κερδίσεις το τζόκερ είναι 1 στις 28.000.000.

• Σε μια τάξη 78 μαθητών υπάρχουν 156 μπισκότα → $156:78 = 2:1$, δηλαδή 2 μπισκότα ανά μαθητή.

• Σε ένα πάρτι, τα παιδιά είναι τριπλάσια από τους ενήλικες → λόγος $3:1$.

---

Τρόποι Γραφής ενός Λόγου

Ένας λόγος μπορεί να γραφτεί με διάφορους τρόπους:

• Με άνω και κάτω τελεία: $3:4$
  

• Ως κλάσμα: $\tfrac{3}{4}$

• Με λέξεις: «3 προς 4»

---

Απλοποίηση Λόγων

Όπως και με τα κλάσματα, απλοποιούμε διαιρώντας με τον μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη.

Παράδειγμα:

$$12:16\Rightarrow \frac{12}{16}=\frac{3}{4}\Rightarrow 3:4$$

---

Ασκήσεις

1. Σε ένα μπολ με 8 φρούτα, τα 6 είναι μήλα και τα 2 πορτοκάλια.

   • Μήλα προς σύνολο: $6:8 = 3:4$.

   • Μήλα προς πορτοκάλια: $6:2 = 3:1$.

2. Μια κτηνίατρος φρόντισε 12 αγελάδες και 16 άλογα.

   • Αγελάδες προς άλογα: $12:16 = 3:4$.

   • Αγελάδες προς όλα τα ζώα: $12:28 = 3:7$.

3. Μια μπάντα έχει 120 αγόρια και 180 κορίτσια.

   • Αγόρια προς κορίτσια: $120:180 = 2:3$.

4. Στην ίδια μπάντα, τα όργανα κατανέμονται ως εξής:

   • 160 πνευστά, 84 κρουστά, 56 χάλκινα.

   • Λόγος: $160:84:56 = 40:21:14$.

---

✅ Συμπέρασμα: Ο λόγος είναι ένα πολύτιμο εργαλείο που μάς βοηθά να κατανοούμε συγκρίσεις στην καθημερινότητα και στα μαθηματικά. Από την ταχύτητα ενός αυτοκινήτου μέχρι την αναλογία συστατικών σε μια συνταγή, οι λόγοι είναι παντού γύρω μας!