Το ερώτημα του Wertheimer που ξάφνιασε ακόμη και τον Einstein

Το 1934, ο ψυχολόγος Max Wertheimer (1880–1943), ένας από τους ιδρυτές της ψυχολογίας Gestalt, έστειλε μια επιστολή στον φίλο του, τον διάσημο φυσικό Albert Einstein (1879–1955). Αντί να συζητήσει περίπλοκα ζητήματα φυσικής, του έθεσε ένα απλό μαθηματικό ερώτημα, το οποίο όμως αποδείχθηκε αρκετά παραπλανητικό.

---

Η Διατύπωση του Προβλήματος

Ένα αυτοκίνητο πρέπει να διανύσει συνολικά 2 χιλιόμετρα:

• 1 χλμ. ανηφόρα, με ταχύτητα 15 χλμ./ώρα.

• 1 χλμ. κατηφόρα, με άγνωστη ταχύτητα.

Ερώτηση: Ποια πρέπει να είναι η ταχύτητα στην κατηφόρα ώστε η μέση ταχύτητα σε όλη τη διαδρομή να είναι 30 χλμ./ώρα;

---

Ανάλυση

Η μέση ταχύτητα υπολογίζεται ως:

$$v_{\mu} = \frac{συνολική\ απόσταση}{συνολικός\ χρόνος}$$

Για 2 χιλιόμετρα με μέση ταχύτητα 30 χλμ./ώρα, ο συνολικός χρόνος πρέπει να είναι:

$$t=\frac{2}{30}\acute{\text{ω}}\text{ρες}=\frac{1}{15}\acute{\text{ω}}\text{ρες}=4\text{λεπτ}\acute{\text{α}}\mathrm{.}$$

Ωστόσο, μόνο για την ανηφόρα:

$$t_{\alpha \nu }=\frac{1}{15}\acute{\text{ω}}\text{ρες}=4\text{λεπτ}\acute{\text{α}}\mathrm{.}$$

Το αυτοκίνητο έχει ήδη καταναλώσει όλο τον διαθέσιμο χρόνο ανεβαίνοντας. Δεν απομένει χρόνος για την κατάβαση, άρα η μέση ταχύτητα δεν μπορεί να είναι 30 χλμ./ώρα.

---

Συμπέρασμα

Το πρόβλημα δεν έχει λύση. Είναι αδύνατο να επιτευχθεί μέση ταχύτητα 30 χλμ./ώρα σε αυτή τη διαδρομή. Η πλάνη προκύπτει επειδή πολλοί συγχέουν τη μέση ταχύτητα με τον αριθμητικό μέσο των ταχυτήτων.

Το ίδιο φαίνεται και με τον αρμονικό μέσο:

$$v_{\mu} = \frac{2}{\frac{1}{15} + \frac{1}{x_2}}.$$

Αν θέσουμε $v_{\mu} = 30$, προκύπτει ότι $x_2 = 0$. Δηλαδή, η ζητούμενη ταχύτητα δεν υπάρχει.

---

Σημασία

Το «ερώτημα του Wertheimer» δείχνει πως ακόμη και μεγάλοι επιστήμονες, όπως ο Einstein, μπορεί να παραπλανηθούν από τη διαίσθηση. Μας υπενθυμίζει ότι στα μαθηματικά απαιτείται υπολογισμός και όχι μόνο γρήγορη σκέψη.