Το Παζλ των Ψηφίων 1–9: Γιατί Υπάρχουν Ακριβώς 158 Λύσεις;

Ο Mark Lucianovic, τότε μαθητής του Thomas Jefferson High School for Science and Technology (και αργότερα φοιτητής του Princeton), παρουσίασε ένα έξυπνο μαθηματικό παζλ βασισμένο στην απλή πράξη της πρόσθεσης — αλλά με μια ιδιαίτερη προϋπόθεση.

📘 Το πρόβλημα

Βρείτε όλες τις έγκυρες εξισώσεις της μορφής:

$$a + b = c$$

όπου κάθε ψηφίο από το 1 έως το 9 χρησιμοποιείται ακριβώς μία φορά.

Ένα παράδειγμα είναι:

$$124 + 659 = 783$$

Ο Lucianovic παρατήρησε ότι υπάρχουν 158 τέτοιες έγκυρες εξισώσεις (αν θεωρήσουμε το $a + b = c$ και το $b + a = c$ ως ίδιες).

---

🧮 Μερικές αξιοσημείωτες ιδιότητες

1. Όλα τα αθροίσματα είναι διαιρετά με το 9.
   Αυτό προκύπτει από την ιδιότητα ότι ένας αριθμός και το άθροισμα των ψηφίων του αφήνουν το ίδιο υπόλοιπο κατά τη διαίρεση με το 9.

2. Σε κάθε πρόσθεση υπάρχει ακριβώς μία μεταφορά (carry).
   Δηλαδή, η πρόσθεση απαιτεί μεταφορά είτε από τις μονάδες στις δεκάδες είτε από τις δεκάδες στις εκατοντάδες — αλλά ποτέ και στα δύο ταυτόχρονα.

3. Τα αθροίσματα χωρίζονται σε ομάδες των 4 ή 8.
   Για παράδειγμα, η εξίσωση
   $124 + 659 = 783$
   ανήκει σε μια ομάδα με τις εξής παραλλαγές:

   $$\begin{gathered} 124+659=783 \\ 129+654=783 \\ 154+629=783 \\ 159+624=783 \end{gathered}$$

   και με αναστροφές ψηφίων, προκύπτουν άλλες τέσσερις.
   Όλα αυτά συνδέονται με τη θέση της μεταφοράς και τη συμμετρία των ψηφίων.

---

💡 Ερωτήματα για σκέψη

• Γιατί όλα τα αθροίσματα έχουν ψηφία που αθροίζονται σε 18;

• Γιατί κάποια αθροίσματα, όπως το 783, έχουν 8 παραλλαγές, ενώ άλλα, όπως το 539, έχουν μόνο 4;

• Μπορούμε να βρούμε μαθηματική αιτία που εξηγεί γιατί υπάρχουν 158 λύσεις;

Αυτό το πρόβλημα δείχνει πώς μια απλή πράξη πρόσθεσης μπορεί να αποκαλύψει βαθιά αριθμητικά μοτίβα, που σχετίζονται με υπολείμματα modulo 9, συμμετρίες και συνδυαστική λογική.