EisatoponAI: Η Άρρητη Ομορφιά του √2: Απόδειξη μέσω του Θεωρήματος των Χαλιών

Η τετραγωνική ρίζα του 2 είναι ένας από τους πιο διάσημους άρρητους αριθμούς στην ιστορία των μαθηματικών. Εδώ θα τη δούμε μέσα από μια εντυπωσιακά γεωμετρική απόδειξη, γνωστή ως Θεώρημα των Χαλιών (Carpets Theorem).

Μέσα από δύο απλά σχήματα θα διαπιστώσουμε γιατί δεν μπορεί να υπάρξει λόγος δύο ακεραίων που να ισούται με √2.

🟥 Βήμα 1 — Τα δύο χαλιά X και Y

Ας υποθέσουμε για αντίφαση ότι:

$\sqrt{2} = \frac{a}{b}$

με a και b θετικούς ακεραίους χωρίς κοινό διαιρέτη.
Αυτό σημαίνει πως δύο τετράγωνα εμβαδού a² (τα χαλιά X και Y) θα πρέπει να καλύπτουν τέλεια ένα μεγαλύτερο τετράγωνο εμβαδού b².

(Δύο χρωματιστά τετράγωνα, κόκκινο X και μπλε Y, τα οποία προσπαθούν να καλύψουν το μεγάλο τετράγωνο.)

Ωστόσο, η τέλεια κάλυψη είναι αδύνατη — όπως θα δείξει το επόμενο βήμα.

🟦 Βήμα 2 — Οι περιοχές P, Q, R, S και η αντίφαση

Ας τοποθετήσουμε τα δύο τετράγωνα (X και Y) διαγώνια μέσα στο μεγάλο τετράγωνο.
Η κατασκευή αυτή χωρίζει την επιφάνεια σε τέσσερις χαρακτηριστικές περιοχές:

P: το λευκό τμήμα που μένει ακάλυπτο,
R: η κόκκινη περιοχή του πρώτου χαλιού,
S: η μπλε περιοχή του δεύτερου,
Q: η μαύρη περιοχή όπου τα δύο χαλιά επικαλύπτονται.

(Η απεικόνιση δείχνει τα δύο χαλιά X και Y, καθώς και τις τέσσερις ζώνες που προκύπτουν από την αλληλοεπικάλυψή τους.)

Η λογική του Θεωρήματος είναι η εξής:
Το συνολικό εμβαδόν των δύο μικρών τετραγώνων είναι ίσο με το άθροισμα των επιφανειών P + Q + R + S.
Ωστόσο, αν τοποθετηθούν όπως στην εικόνα, εμφανίζεται μια μικρότερη περιοχή (το λευκό τετράγωνο P), η οποία δεν καλύπτεται ποτέ απόλυτα.

Αυτό δημιουργεί ένα νέο, μικρότερο τετράγωνο που απαιτεί την ίδια κάλυψη — δηλαδή οδηγεί στο ίδιο πρόβλημα, αλλά σε μικρότερη κλίμακα.

🔁 Βήμα 3 — Η άπειρη επανάληψη

Αν η σχέση $\sqrt{2} = a/b$ ήταν αληθής, τότε αυτή η διαδικασία θα μπορούσε να συνεχιστεί επ’ άπειρον: κάθε νέα κατασκευή θα παρήγαγε ένα ακόμη μικρότερο τετράγωνο P.
Αλλά δεν μπορούν να υπάρξουν άπειρα θετικά ζεύγη ακεραίων (a, b) που να πληρούν τη συνθήκη.

Άρα, η αρχική υπόθεση απορρίπτεται.
Η $\sqrt{2}$ δεν μπορεί να εκφραστεί ως λόγος δύο ακεραίων — είναι, λοιπόν, άρρητος αριθμός.

✨ Συμπέρασμα

Το Θεώρημα των Χαλιών δεν είναι απλώς μια διαφορετική απόδειξη, αλλά μια ποιητική οπτικοποίηση της μαθηματικής αλήθειας: ότι η αρμονία των σχημάτων αποκαλύπτει όσα η άλγεβρα περιγράφει με σύμβολα.