-
Στην κορυφή υπάρχει 1 σφαίρα.
-
Στη 2η στρώση, 2×2 = 4 σφαίρες.
-
Στην 3η στρώση, 3×3 = 9 σφαίρες.
-
Στην 4η στρώση, 4×4 = 16 σφαίρες.
Το σύνολο είναι:
Άρα μια πυραμίδα με 4 επίπεδα περιέχει 30 σφαίρες. ✅
Επόμενη Πρόκληση
Τι θα λέγατε τώρα για μια πυραμίδα με 10 επίπεδα;
Μπορείτε να βρείτε το πλήθος χωρίς να κάνετε ένα-ένα όλα τα αθροίσματα των τετραγώνων;
(Bonus: Βρείτε έναν γενικό τύπο για πυραμίδα με n επίπεδα.)
1 σχόλιο:
Έχουμε μια πυραμίδα με τετράγωνη βάση, όπου το πλήθος σφαιρών είναι:
ΑπάντησηΔιαγραφή1^2+2^2+3^2+⋯+n^2
1. Γνωστός τύπος για το άθροισμα τετραγώνων
12+22+32+⋯+n2 = n*(n+1)*(2n+1)/6
2. Για n = 10 επίπεδα
n*(n+1)*(2n+1)/6=10*(10+1)*(2*10+1)/6=(10*11*21)/6=2.310/6=385
Άρα, μια πυραμίδα με 10 επίπεδα περιέχει 385 σφαίρες.
3. Γενικός τύπος
Ο γενικός τύπος για το πλήθος σφαιρών σε πυραμίδα με n επίπεδα είναι:
S(n)=n*(n+1)*(2n+1)/6
Αθροίζοντας ένα – ένα τα αθροίσματα των τετραγώνων:
• Στην κορυφή υπάρχει 1 σφαίρα.
• Στη 2η στρώση, 2*2 = 4 σφαίρες.
• Στην 3η στρώση, 3*3 = 9 σφαίρες.
• Στην 4η στρώση, 4*4 = 16 σφαίρες.
• Στη 5η στρώση, 5*5= 25 σφαίρες
• Στην 6η στρώση, 6*6=36 σφαίρες
• Στην 7η στρώση, 7*7=49 σφαίρες
• Στην 8η στρώση, 8*8=64 σφαίρες
• Στην 9η στρώση, 9*9=81 σφαίρες
• Στη 10η στρώση, 10*10=100 σφαίρες
Το σύνολο είναι:
1+4+9+16+25+36+49+64+81+100=385 σφαίρες