Οι «Συγγενείς» των Πυθαγορείων Τριάδων: Τρίγωνα με Γωνίες 60° και 120°

Πέρα από τις γνωστές Πυθαγόρειες τριάδες, υπάρχουν και άλλες, λιγότερο γνωστές, που συνδέονται με τρίγωνα των οποίων η γωνία είναι 60° ή 120°. Αυτές οι “συγγενικές” τριάδες — οι λεγόμενες Pre- και Post-Pythagorean — παρουσιάζουν εντυπωσιακές ιδιότητες και αξίζει να τις γνωρίσουμε. 

1. Θεμελιώδεις εξισώσεις.

   • Για γωνία $60^\circ$: $\;\mathbf{a^2+b^2-ab=c^2}$.

   • Για γωνία $120^\circ$: $\;\mathbf{a^2+b^2+ab=c^2}$.

2. Παραμετροποίηση.
   Βρείτε όλες τις ακέραιες λύσεις των δύο Διοφαντικών εξισώσεων και κατασκευάστε πίνακες πρωτογενών (primitive) τριάδων, δηλ. με $\gcd(a,b,c)=1$.

3. Σχέση Pre ↔ Post.
   Δείξτε ότι αν $(a,b,c)$ είναι Post-Pythagorean, τότε $(a,\,a+b,\,c)$ είναι Pre-Pythagorean.

4. Άπειρες οικογένειες.
   Αποδείξτε ότι υπάρχουν άπειρες Post-Pythagorean τριάδες με διαφορά καθέτων πλευρών ίση με 1 ($|a-b|=1$).

5. Διαιρετότητα ποδιού (Pre).
   Αν σε μια Pre-Pythagorean τριάδα $(a, b, c)$ μία από τις δύο πλευρές $a$ ή $b$ είναι ζυγός αριθμός, τότε αυτή η πλευρά είναι πολλαπλάσιο του 8.

6. Παραγοντοποίηση υποτείνουσας (Pre).
   Αν $(a,b,c)$ είναι πρωτογενής Pre-Pythagorean, τότε το $c$ είναι γινόμενο πρώτων της μορφής $6k+1$.

7. Πολαπλότητες (Post).
   Αν $(a,b,c)$ είναι Post-Pythagorean, τότε το $\mathbf{abc(a+b)}$ είναι πολλαπλάσιο του 840.