Οι πρώτοι αριθμοί χωρίς το 7: Η ανακάλυψη του James Maynard και η «μουσική» των αριθμών

Ο Βρετανός μαθηματικός James Maynard απέδειξε κάτι που ακούγεται απλό, αλλά απαιτούσε εξαιρετική μαθηματική διορατικότητα: ότι υπάρχουν άπειροι πρώτοι αριθμοί χωρίς το ψηφίο 7. Το αποτέλεσμα αυτό, που παρουσιάστηκε στο Ευρωπαϊκό Συνέδριο Μαθηματικών το 2016, ήταν αρκετό για να του χαρίσει ένα από τα σημαντικότερα βραβεία της Ευρωπαϊκής Μαθηματικής Εταιρείας.

Αλλά γιατί να έχει σημασία κάτι τέτοιο;
Οι πρώτοι αριθμοί —αριθμοί που διαιρούνται μόνο με τον εαυτό τους και το 1— είναι οι «άτομα» της θεωρίας αριθμών. Όλοι οι άλλοι φυσικοί αριθμοί μπορούν να γραφούν ως γινόμενα πρώτων:
                                                                                                        24 = 2 × 2 × 2 × 3
                                                                                                        110 = 2 × 5 × 11

Από τα αρχαία χρόνια γνωρίζουμε ότι οι πρώτοι είναι άπειροι, όμως η κατανομή τους παραμένει ένα από τα μεγαλύτερα μυστήρια των μαθηματικών. Πόσο συχνά εμφανίζονται; Πώς «αραιώνουν» όσο μεγαλώνουν; Αυτά τα ερωτήματα συνδέονται με το περίφημο Υπόθεμα του Riemann και την Εικασία των Διδύμων Πρώτων — δύο από τα πιο διάσημα άλυτα προβλήματα της μαθηματικής επιστήμης.

James Maynard

Η εργασία του Maynard για τους πρώτους χωρίς το 7 αποτελεί δοκιμαστικό πεδίο για τέτοιου είδους ερωτήματα. Όπως εξηγεί ο ίδιος, «οι περισσότεροι μεγάλοι αριθμοί περιέχουν πολλά 7 — το να μην έχει κανένα είναι σπάνιο. Παρόλα αυτά, κατάφερα να δείξω ότι υπάρχουν άπειροι τέτοιοι πρώτοι». Το εντυπωσιακό είναι πως η απόδειξή του ισχύει όχι μόνο για το 7, αλλά για οποιοδήποτε ψηφίο: υπάρχουν άπειροι πρώτοι χωρίς 1, χωρίς 2, χωρίς 3 κ.ο.κ.

Από τη Μουσική στη Θεωρία Αριθμών

Ένα από τα εργαλεία που χρησιμοποιεί ο Maynard προέρχεται από τη Φουριέ Ανάλυση, την οποία ανέπτυξε τον 19ο αιώνα ο Jean-Baptiste Fourier. Ο Fourier μελετούσε τη μετάδοση θερμότητας, αλλά η θεωρία του βρήκε εφαρμογή στη μουσική: κάθε ήχος μπορεί να αναλυθεί σε απλούστερα κύματα, όπως κάθε συγχορδία σε μεμονωμένες νότες.

Με παρόμοιο τρόπο, η Φουριέ Ανάλυση επιτρέπει στους μαθηματικούς να «αποσυνθέτουν» την κατανομή των πρώτων σε κυματισμούς, δηλαδή ταλαντώσεις που αποκαλύπτουν βαθύτερες αριθμητικές δομές. Όπως λέει ο Maynard, «αν οι πρώτοι αριθμοί ταλαντώνονταν με έναν συγκεκριμένο τρόπο, θα υπήρχαν αντίστοιχες “νότες” που θα το αποκάλυπταν».

Ο Marcus du Sautoy, στο βιβλίο του The Music of the Primes, περιγράφει αυτή την εντυπωσιακή ιδέα: οι πρώτοι αριθμοί συνθέτουν ένα είδος αόρατης μουσικής, όπου κάθε νότα αντιπροσωπεύει μια μαθηματική συχνότητα.

Από τη Μουσική στην Εικόνα

Η έρευνα του Maynard δεν σταματά εκεί. Δημιούργησε μια γεωμετρική απεικόνιση των εξισώσεών του μέσω ενός ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου (cuboid) που βρίσκεται μέσα σε ένα τρισδιάστατο πλέγμα σημείων. Ο αριθμός των σημείων που περιέχονται μέσα στο παραλληλεπίπεδο υποδεικνύει αν εμφανίζονται «ανωμαλίες» στις εξισώσεις — σαν να αλλάζει η ένταση μιας μουσικής νότας.

Αυτός ο συνδυασμός μουσικής, γεωμετρίας και αριθμών αντικατοπτρίζει τη φύση των σύγχρονων μαθηματικών: την ενότητα φαινομενικά ασύνδετων πεδίων. Όπως λέει ο Maynard, «κανείς δεν θα συνέδεε τους πρώτους αριθμούς με τη μουσική ή με ένα κυβικό σχήμα γεμάτο σημεία — κι όμως, όλα αυτά μπορούν να ενοποιηθούν σε ένα αρμονικό μαθηματικό σύνολο».

Η ανακάλυψή του για τους πρώτους χωρίς 7 δεν είναι μόνο μια περιέργεια· είναι μια νέα γέφυρα ανάμεσα στην αισθητική και την ακρίβεια των μαθηματικών, όπου οι αριθμοί τραγουδούν και η γεωμετρία ζωγραφίζει τις μελωδίες τους.