Υπολογισμός του π με Άθροισμα ARCTAN!

Ένας απλός και όμορφος τρόπος υπολογισμού του $\pi \; \mu έ\sigma \omega \; \tau \rho \iota \gamma o\nu o\mu \epsilon \tau \rho \iota \kappa ώ\nu \; \sigma \upsilon \nu \alpha \rho \tau ή\sigma \epsilon \omega \nu$:

$$\pi = 4 \left[ \arctan\!\left(\tfrac{1}{2}\right) + \arctan\!\left(\tfrac{1}{3}\right) \right]$$

Προσοχή: οι υπολογισμοί γίνονται σε ακτίνια (radians), όχι σε μοίρες.

---

Απάντηση

Η συνάρτηση ARCTAN (ή $\tan^{-1}$) είναι το αντίστροφο της εφαπτομένης.

• Για παράδειγμα, $\tan 45^\circ = 1$.

• Άρα $\arctan 1 = 45^\circ$.

Με τον ίδιο τρόπο λειτουργούν και οι άλλες αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις (arcsin, arccos).

• $\sin 30^\circ = 0.5$

• $\arcsin 0.5 = 30^\circ$.

Το όμορφο είναι ότι μερικοί συνδυασμοί κλασμάτων δίνουν πολύ απλά αποτελέσματα που σχετίζονται με το $\pi$. Στην περίπτωσή μας:

$$\arctan\!\left(\tfrac{1}{2}\right) + \arctan\!\left(\tfrac{1}{3}\right) = \tfrac{\pi}{4}$$και πολλαπλασιάζοντας με 4 παίρνουμε $\pi$.