Η Ασπίδα του Βασιλιά Αρθούρου: Γεωμετρία, Θάρρος και Σοφία

Ο Βασιλιάς Αρθούρος παρήγγειλε ασπίδα σε σχήμα τεταρτοκυκλίου, με τρία χρώματα: κίτρινο (καλοσύνη), κόκκινο (θάρρος), μπλε (σοφία).
Ο υπασπιστής είπε πως υπάρχει περισσότερο κόκκινο από μπλε. Ο ζωγράφος υποστήριξε ότι κόκκινο και μπλε έχουν ίσο εμβαδόν.
Πώς το απέδειξε;

---

Η βασική ιδέα

Χωρίζουμε την ασπίδα με ομόκεντρους κύκλους (ίδιο κέντρο στη γωνία των 90°), ώστε να προκύψουν τρεις ζώνες:

• κίτρινη: από 0 έως $r_1$

• κόκκινη: από $r_1$ έως $r_2$

• μπλε: από $r_2$ έως $r_3$

Το εμβαδόν τεταρτοκυκλικού δακτυλίου εξαρτάται μόνο από τη διαφορά τετραγώνων των ακτίνων.

---

Απόδειξη

Εμβαδόν τεταρτοκυκλίου ακτίνας $r$: $E=\dfrac{\pi r^2}{4}$.

• Κόκκινη ζώνη: $E_R=\dfrac{\pi(r_2^2-r_1^2)}{4}$

• Μπλε ζώνη: $E_B=\dfrac{\pi(r_3^2-r_2^2)}{4}$

Θέλουμε $E_R=E_B$ ⇔ $r_2^2-r_1^2=r_3^2-r_2^2$ ⇔

$$\boxed{\,r_2^2=\dfrac{r_1^2+r_3^2}{2}\,}$$

Δηλαδή, το τετράγωνο της μεσαίας ακτίνας είναι ο μέσος όρος των τετραγώνων των άλλων δύο.

---

Παράδειγμα

Διάλεξε $r_1=1$, $r_2=\sqrt{3}$, $r_3=\sqrt{5}$.
Τότε $r_2^2=3=\dfrac{1+5}{2}$ ✔

• Κόκκινο: $\dfrac{\pi(3-1)}{4}=\dfrac{\pi}{2}$

• Μπλε: $\dfrac{\pi(5-3)}{4}=\dfrac{\pi}{2}$

Τα εμβαδά είναι ίσα.

---

Γιατί “φαίνεται” περισσότερο κόκκινο;

Το μάτι μετρά πάχος ζώνης, όχι εμβαδόν.
Το κόκκινο είναι πιο πλατύ αλλά πιο κοντά στο κέντρο (μικρότερο τόξο), ενώ το μπλε είναι πιο στενό αλλά στην εξωτερική περιφέρεια (μεγαλύτερο τόξο). Οι δύο παράγοντες εξισορροπούν ακριβώς τα εμβαδά.

---

Μήνυμα

Η ασπίδα διδάσκει ότι θάρρος και σοφία συνυπάρχουν σε ισορροπία — ακόμη κι όταν το μάτι ξεγελιέται. Η γεωμετρία αποκαλύπτει την αλήθεια.