Το Γενικευμένο Πυθαγόρειο Θεώρημα σε Πολλές Διαστάσεις

Το Γενικευμένο Πυθαγόρειο Θεώρημα

Το γνωστό Πυθαγόρειο Θεώρημα, που συνδέει τα μήκη των πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου, επεκτείνεται και πέρα από τις δύο διαστάσεις.
Στον χώρο, και γενικότερα σε περισσότερες διαστάσεις, η σχέση αυτή αποκτά μια πιο εντυπωσιακή μορφή.

Ορθοσύμπλεγμα (Orthosimplex)

Φαντάσου ένα γεωμετρικό σχήμα που ονομάζεται σύμπλεγμα (simplex) — είναι η φυσική γενίκευση του τριγώνου και του τετραέδρου σε οποιαδήποτε διάσταση.

Όταν οι πλευρές (ή όψεις) που ενώνονται σε μια κορυφή είναι αμοιβαία κάθετες, το σχήμα αυτό ονομάζεται ορθοσύμπλεγμα.

Η όψη που βρίσκεται απέναντι από την κορυφή αυτή ονομάζεται υποτείνουσα όψη, ενώ οι υπόλοιπες είναι οι «ορθές» όψεις.

---

Το Γενικευμένο Πυθαγόρειο Θεώρημα

Η ουσία της γενίκευσης είναι απλή και πανέμορφη:

Το τετράγωνο της επιφάνειας της «υποτείνουσας» όψης ενός ορθοσυμπλέγματος είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των επιφανειών όλων των ορθών όψεων.

Αν σε δύο διαστάσεις έχουμε:

$$A^2 = A_1^2 + A_2^2$$

τότε σε τρεις διαστάσεις ισχύει:

$$A^2 = A_1^2 + A_2^2 + A_3^2$$

και γενικότερα, σε $d$ διαστάσεις:

$$A^2 = \sum_{i=1}^{d} A_i^2$$

---

Μια πιο ευρεία θεώρηση

Η γενίκευση αυτή δείχνει ότι οι αρχές της ευκλείδειας γεωμετρίας δεν περιορίζονται στο επίπεδο, αλλά ισχύουν σε κάθε διάσταση — από τα τρίγωνα, στα τετράεδρα, μέχρι και σε αφηρημένες γεωμετρικές μορφές πολλών διαστάσεων.
Το Πυθαγόρειο Θεώρημα παραμένει, έτσι, ένας θεμελιώδης νόμος για την κατανόηση της απόστασης και της ορθότητας στο σύμπαν της γεωμετρίας.