Η Μισή Παράγωγος: Μύθος ή Μαθηματική Πραγματικότητα;

Στις γνωστές παραγώγους έχουμε ακέραιας τάξης: \( \frac{d^2y}{dx^2}, \frac{d^ny}{dx^n} \). Τι γίνεται όμως όταν ο «τάξη» είναι κλασματικός, π.χ. \( \tfrac{1}{2} \); Η Κλασματική Ανάλυση ορίζει την παράγωγο τάξης \( \alpha \in (0,1) \) με τρόπους που επεκτείνουν συνεκτικά την κλασική θεωρία.

Οι δύο πιο διαδεδομένοι ορισμοί είναι:

Ορισμοί

1. Riemann–Liouville (RL): βασίζεται σε ολοκλήρωση κλάσματος τάξης και έπειτα σε κλασική παράγωγο.
2. Caputo: «μεταφέρει» την παράγωγο μέσα στο ολοκλήρωμα· είναι πρακτικός σε προβλήματα αρχικών τιμών διότι δέχεται κλασικές αρχικές συνθήκες.

Και οι δύο ορισμοί συμπίπτουν με την κλασική παράγωγο όταν \( \alpha \to 1 \) και με την ταυτότητα όταν \( \alpha \to 0 \) (υπό κατάλληλες συνθήκες ομαλότητας).

Βασική φόρμουλα (Riemann–Liouville)

Για \( m > -1 \) και \( 0 < \alpha \),

\[ D_x^{\alpha}\big[x^{\,m}\big] = \frac{\Gamma(m+1)}{\Gamma(m+1-\alpha)}\, x^{\,m-\alpha}, \]

όπου \( \Gamma \) είναι η συνάρτηση Γάμμα. Πρόκειται για άμεση επέκταση του κανόνα παραγώγισης δυνάμεων, που ισχύει και για μη ακέραιες τιμές της τάξης παραγώγισης.

Παράδειγμα: η «μισή παράγωγος» του \(x\)

Θέλουμε το \( D_x^{1/2}[x] \). Βάζοντας \( m=1 \) και \( \alpha=\tfrac12 \) στην παραπάνω σχέση:

\[ D_x^{1/2}[x] = \frac{\Gamma(2)}{\Gamma\!\left(\tfrac{3}{2}\right)}\, x^{\,1/2} = \frac{1}{\tfrac{\sqrt{\pi}}{2}}\, x^{1/2} = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\, x^{1/2}. \]

Άρα πράγματι \( \displaystyle \frac{d^{1/2}}{dx^{1/2}} x = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\,x^{1/2} \).