Πέρα από την Εξίσωση: Το Μυστικό Σύμπαν των Υπερβατικών Αριθμών

Από την εποχή του Πυθαγόρα έως τα μεγάλα μαθηματικά επιτεύγματα του 20ού αιώνα, οι αριθμοί δεν έπαψαν ποτέ να μας εκπλήσσουν. Κάθε φορά που νομίζαμε ότι γνωρίζουμε τα όριά τους, μια νέα ανακάλυψη άνοιγε έναν καινούριο, πιο βαθύ κόσμο. Αν η ανακάλυψη των αρνητικών και των μιγαδικών αριθμών άλλαξε την άλγεβρα, η διάκριση ανάμεσα στους αλγεβρικούς και τους υπερβατικούς αριθμούς άλλαξε για πάντα τη θεμελίωση των μαθηματικών.

🔹 Οι Αλγεβρικοί Αριθμοί

Ένας αριθμός λέγεται αλγεβρικός αν είναι ρίζα κάποιας πολυωνυμικής εξίσωσης με ακέραιους συντελεστές.
Για παράδειγμα:

• Ο $\sqrt{2}$ ικανοποιεί την εξίσωση $x^2 - 2 = 0$
  

• Ο $\frac{3}{4}$ ικανοποιεί την $4x - 3 = 0$
  

Ακόμα και οι περισσότεροι “περίεργοι” αριθμοί που γνωρίζουμε —όπως ο $\sqrt[3]{5}$ ή ο $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ (ο χρυσός λόγος)— είναι αλγεβρικοί. Όμως, δεν είναι όλοι.

---

🔹 Η Ανακάλυψη των Άρρητων

Οι αρχαίοι Έλληνες γνώριζαν μόνο τους λόγους δύο ακεραίων —τους ρητούς αριθμούς.
Όταν οι Πυθαγόρειοι ανακάλυψαν ότι η διαγώνιος ενός τετραγώνου δεν μπορεί να εκφραστεί ως λόγος πλευρών, δηλαδή ότι το $\sqrt{2}$ είναι άρρητος, η ίδια η φιλοσοφία των αριθμών τους κατέρρευσε.
Η “ανορθολογικότητα” είχε γεννηθεί.

---

🔹 Η Ιδέα του Υπερβατικού

Για αιώνες, όλοι οι γνωστοί άρρητοι αριθμοί ήταν αλγεβρικοί. Όμως τον 19ο αιώνα, οι μαθηματικοί αναρωτήθηκαν:
Υπάρχουν αριθμοί που δεν είναι καν ρίζες καμίας εξίσωσης;

Αυτοί οι αριθμοί, που “ξεπερνούν” την άλγεβρα, ονομάστηκαν υπερβατικοί.
Και πράγματι —υπάρχουν άπειροι τέτοιοι αριθμοί.
Οι πιο διάσημοι;
$e$, ο αριθμός του Euler, και φυσικά το $\pi$.

---

🔹 Ο Θεώρημα του Liouville: Η Πρώτη Απόδειξη

Το 1844, ο Γάλλος μαθηματικός Joseph Liouville απέδειξε ότι υπάρχουν αριθμοί που δεν μπορούν να προσεγγιστούν “πολύ καλά” από ρητούς.
Έτσι κατασκεύασε τον πρώτο γνωστό υπερβατικό αριθμό, γνωστό σήμερα ως αριθμό του Liouville:

$$L=0.1100010000000000000000010000\dots$$

—μια άπειρη ακολουθία δεκαδικών όπου τα «1» εμφανίζονται στις θέσεις των παραγοντικών αριθμών.

---

🔹 Η Επανάσταση του 19ου Αιώνα

• Το 1873, ο Charles Hermite απέδειξε ότι ο αριθμός $e$ είναι υπερβατικός.

• Το 1882, ο Ferdinand von Lindemann απέδειξε ότι και το $\pi$ είναι υπερβατικό.
  Έτσι, έδωσε οριστική απάντηση σε ένα αρχαίο ελληνικό πρόβλημα:
  ❌ Δεν μπορείς να τετραγωνίσεις τον κύκλο με κανόνα και διαβήτη, γιατί αυτό θα απαιτούσε να “κατασκευάσεις” το $\pi$.

---

🔹 Ο Hilbert και το 7ο Πρόβλημα

Το 1900, ο David Hilbert, ένας από τους κορυφαίους μαθηματικούς του αιώνα, έθεσε το 7ο του περίφημου καταλόγου προβλημάτων:

Αν $a$ και $b$ είναι αλγεβρικοί αριθμοί, με $a \neq 0,1$ και $b$ άρρητο, τότε το $a^b$ είναι υπερβατικό;

Το πρόβλημα παρέμεινε άλυτο για δεκαετίες.

---

🔹 Η Λύση των Gelfond και Schneider

Το 1934, ο Aleksandr Gelfond απέδειξε ότι πράγματι έτσι είναι —το $a^b$ είναι υπερβατικό.
Έτσι, για πρώτη φορά αποδείχθηκε μαθηματικά ότι:

$$2^{\sqrt{2}}\text{ε}\acute{\text{ι}}\text{ναι υπερβατικ}\acute{\text{ο}}\text{ς αριθμ}\acute{\text{ο}}\text{ς.}$$

---

🔹Μια Αέναη Ιστορία: Η Κυριαρχία του Υπερβατικού

Σήμερα, η θεωρία αριθμών έχει αποκαλύψει μια βαθιά αλήθεια: οι υπερβατικοί αριθμοί δεν είναι απλώς υπάρχοντες, αλλά είναι ασυγκρίτως περισσότεροι από τους αλγεβρικούς.

Ενώ το σύνολο των αλγεβρικών αριθμών είναι άπειρο μεν, αλλά μετρήσιμο (στην ίδια πληθικότητα με τους φυσικούς αριθμούς), το σύνολο των υπερβατικών αριθμών είναι άπειρο και μη μετρήσιμο (στην ίδια πληθικότητα με το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών). Αυτό σημαίνει ότι, κυριολεκτικά, σχεδόν όλοι οι πραγματικοί αριθμοί είναι υπερβατικοί.