Το Πρόβλημα του Δρόμου του Βασιλιά – Ένα Μαθηματικό Δίλημμα Βελτιστοποίησης (Cambridge Math Problem)

Ένα βασίλειο εκτείνεται πάνω σε μια τεράστια πεδιάδα με έναν παραβολικό λόφο στο κέντρο.
Σε μια κατακόρυφη τομή από το κέντρο του λόφου, με τον άξονα $x$ οριζόντιο και τον άξονα $z$κατακόρυφο, η επιφάνεια του λόφου περιγράφεται από τη σχέση:

$$x = \begin{cases} \dfrac{1}{2a}(a^2 - z^2), & |z| \le a, \\ 0, & |z| > a. \end{cases}$$

Περιστρέφοντας αυτή την τομή γύρω από τον άξονα $z$, σχηματίζεται η τρισδιάστατη επιφάνεια του βασιλείου.

Ο Βασιλιάς έχει δύο κατοικίες:

• τη θερινή στο σημείο $(-R, 0)$,

• και τη χειμερινή στο σημείο $(R, 0)$, όπου $R > a.$

Επιθυμεί να τις ενώσει με έναν δρόμο, ο οποίος θα αποτελείται από τρία τμήματα:

1. Μία διαδρομή στο επίπεδο $(x,z)$ που ενώνει τα σημεία $(-R,0)$ και $(-b,(a^2-b^2)/(2a))$,

2. Μία οριζόντια ημικυκλική διαδρομή που ενώνει τα σημεία $(\pm b,(a^2-b^2)/(2a))$,

3. Μία διαδρομή στο επίπεδο $(x,z)$ που ενώνει τα σημεία $(b,(a^2-b^2)/(2a))$ και $(R,0)$.

---

📏 Ο βασιλιάς θέλει ο δρόμος να είναι όσο το δυνατόν πιο σύντομος. Πώς πρέπει να επιλέξει την τιμή του $b$;

💡 Υπόδειξη:
Θα χρειαστείτε τον τύπο του μήκους τόξου μιας καμπύλης και λίγη σκέψη πάνω στη συμμετρία και τη βελτιστοποίηση.