Επαναλαμβανόμενη σύνθεση της f(x)=2x+1: υπολογισμός f^(n)(x)

Έστω $f(x)=2x+1$.
Υπολογίστε $f(f(x))$, $f(f(f(x)))$ και, γενικότερα, βρείτε τον τύπο της $n$-πλής σύνθεσης

$$f^{(n)}(x)=\underset{n\text{φορ}\acute{\text{ε}}\text{ς}}{\underbrace{f(f(\cdots f}}(x)\cdots )\mathrm{.}$$

Υπολογισμοί

• $f(f(x))=2(2x+1)+1=4x+3$
  

• $f(f(f(x)))=2(4x+3)+1=8x+7$
  

Παρατηρούμε το μοτίβο: οι συντελεστές είναι $4,8,\dots,2^n$ και τα σταθερά μέλη $3,7,\dots,2^n-1$

Γενικός τύπος (και απόδειξη με επαγωγή)

Ισχύει για κάθε $n\in\mathbb{N}$:

$$\boxed{\,f^{(n)}(x)=2^{n}x+(2^{n}-1)\, }.$$

Βάση: $n=1$: $f^{(1)}(x)=2x+1=2^1x+(2^1-1)$.
Βήμα: Αν $f^{(n)}(x)=2^n x+(2^n-1)$, τότε

$$f^{(n+1)}(x)=f\!\big(f^{(n)}(x)\big) =2\big(2^n x+(2^n-1)\big)+1 =2^{n+1}x+\big(2^{n+1}-1\big).$$

Άρα ισχύει για όλα τα $n$.