Μέχρι τότε, οι περισσότεροι μαθηματικοί το θεωρούσαν κάτι ασαφές — περισσότερο φιλοσοφική έννοια παρά αντικείμενο επιστημονικής μελέτης. Ο Cantor, όμως, πίστευε ότι το άπειρο μπορούσε να μελετηθεί με μαθηματική αυστηρότητα. Και το έκανε.
Το άπειρο έχει… μεγέθη
Η πιο ριζοσπαστική του ιδέα ήταν πως δεν υπάρχει μόνο ένα άπειρο, αλλά πολλά — και μάλιστα άπειρα διαφορετικών μεγεθών.
Με μια απλή αλλά ιδιοφυή σκέψη, ο Cantor έδειξε ότι τα φυσικά αριθμητικά σύνολα (1, 2, 3, 4, …) έχουν μικρότερο άπειρο από το σύνολο των πραγματικών αριθμών.
Η απόδειξή του, γνωστή ως διαγώνιο επιχείρημα του Cantor, έδειξε ότι, όσο κι αν προσπαθήσεις να αριθμήσεις τους πραγματικούς αριθμούς, πάντα θα υπάρχει ένας που ξεφεύγει — ένας αριθμός που δεν περιλαμβάνεται στη λίστα σου.
Έτσι, τα πραγματικά αποτελούν ένα μεγαλύτερο άπειρο από τους φυσικούς αριθμούς.
Ένα πνεύμα ανάμεσα στη λογική και τη θεολογία
Ο Cantor πίστευε βαθιά ότι η ανακάλυψή του είχε και θεολογική διάσταση. Θεωρούσε πως ο Θεός είναι το απόλυτο άπειρο, πέρα από κάθε μαθηματικό μέτρο.
Σε μια κοινωνική συγκέντρωση, ένας συνομιλητής τού είπε:
«Ο Θεός είναι το μεγαλύτερο άπειρο.»
Και ο Cantor απάντησε χαμογελώντας:
«Μπορώ να σας αποδείξω ότι το σύνολο των φυσικών αριθμών είναι μικρότερο από το σύνολο των πραγματικών αριθμών.
Αλλά για τον Θεό, δεν μπορώ να μιλήσω ως μαθηματικός — μόνο ως άνθρωπος.»
Η φράση αυτή αποτυπώνει τέλεια τη διπλή του φύση: μαθηματικός του νου και φιλόσοφος της ψυχής.
Μια ιδιοφυΐα παρεξηγημένη
Παρότι σήμερα θεωρείται θεμελιωτής της θεωρίας συνόλων και πατέρας της σύγχρονης μαθηματικής λογικής, ο Cantor στην εποχή του πολεμήθηκε σκληρά.
Οι ιδέες του θεωρήθηκαν αιρετικές, «επικίνδυνες» για τη μαθηματική τάξη της εποχής. Μερικοί διάσημοι μαθηματικοί — όπως ο Kronecker — τον πολέμησαν δημόσια, αποκαλώντας τον «αποτυχημένο ονειροπόλο».
Αυτή η απόρριψη τον οδήγησε σε περιόδους βαριάς κατάθλιψης και απομόνωσης. Ωστόσο, συνέχισε να πιστεύει ότι το έργο του θα αναγνωριστεί στο μέλλον — και δικαιώθηκε.
Η Κληρονομιά του
Σήμερα, οι έννοιες του πληθικού αριθμού, του μεγέθους των απείρων και της θεωρίας συνόλων βρίσκονται στη βάση της σύγχρονης μαθηματικής σκέψης.
Χάρη στον Cantor, το άπειρο απέκτησε μορφή, σύνολο και δομή.
Και ο ίδιος έμεινε στην ιστορία όχι μόνο ως μαθηματικός, αλλά και ως ποιητής του απείρου — ένας άνθρωπος που τόλμησε να κοιτάξει πέρα από τα σύνορα της λογικής και να ψιθυρίσει:
«Υπάρχουν περισσότερα άπειρα από όσα μπορεί να φανταστεί ο νους.»
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου