Τρία όμορφα προβλήματα Γεωμετρίας από τον Κώστα Βήττα στο mathematica.gr

Εάν είναι συμμετρικά, είναι και ορθολογικά

Δίνονται δύο τρίγωνα που είναι συμμετρικά ως προς δοσμένη ευθεία. Δείξτε ότι είναι ορθολογικά.

Ευθείες που συντρέχουν με άλλες, αλλά και μεταξύ τους

Σε κάθε κυρτό εξάγωνο του οποίου οι κύριες διαγώνιες είναι παράλληλες προς τρεις μη διαδοχικές πλευρές, οι ευθείες που συνδέουν τα σημεία τομής των ευθειών των πλευρών που πρόσκεινται στις απέναντι πλευρές του, τέμνονται στο ίδιο σημείο.

ΟΜΟΙΑ ΙΣΟΣΚΕΛΗ ΤΡΙΓΩΝΑ

Σε τρίγωνο \( \triangle ABC \) κατασκευάζουμε προς το εξωτερικό του τα όμοια ισοσκελή τρίγωνα \( \triangle DAB, \triangle EAC \) και (όπως αναφέρεται στις επιμέρους εκφωνήσεις) ένα ακόμη όμοιο τρίγωνο.

Αποδείξτε:

• \( ADSE \) είναι παραλληλόγραμμο (όπου \( S \) το συμμετρικό κατάλληλου σημείου ως προς \( BC \)).
• \( AH \perp BC \) για κατάλληλο όμοιο τρίγωνο \( \triangle FDE \) και ορθόκεντρο \( H \).
• \( AO \perp DE \) όπου \( O \) είναι το ορθόκεντρο του \( \triangle TBC \).