Πέντε Μαθηματικές Προκλήσεις από το Περιοδικό Quantum

Το περιοδικό Quantum υπήρξε μια από τις πιο αγαπημένες πηγές μαθηματικών προκλήσεων για μαθητές, φοιτητές και λάτρεις των διαγωνιστικών μαθηματικών σε όλο τον κόσμο.

Στις σελίδες του φιλοξενήθηκαν προβλήματα που συνδύαζαν έμπνευση, κομψότητα και βάθος, προτρέποντας τον αναγνώστη όχι μόνο να βρει τη λύση, αλλά να ανακαλύψει τη μαθηματική ομορφιά πίσω από αυτήν.

Παρακάτω παρουσιάζονται πέντε χαρακτηριστικά προβλήματα από παλαιότερα τεύχη του Quantum.

Looking for Order

Σε ένα τουρνουά βόλεϊ ενός γύρου, κάθε μία από τις οκτώ ομάδες έπαιξε με όλες τις άλλες.
Απόδειξε ότι μπορεί να επιλεγεί τετράδα ομάδων $A, B, C, D$ τέτοια ώστε:
ο $A$ να έχει νικήσει τον $B$, ο $B$ τον $C$, ο $C$ τον $D$, και ο $D$ τον $A$.

---

Intersecting Parabolas

Δύο παραβολές στο επίπεδο έχουν περιεχόμενους άξονες συμμετρίας και τέσσερα κοινά σημεία.
Απόδειξε ότι αυτά τα τέσσερα σημεία κείνται σε έναν κύκλο.
(Πρόταση: L. Kuptsov)

---

Suggestive Coefficients

Για κάθε θετικούς αριθμούς $a$ και $b$, απόδειξε την ανισότητα

$$2\sqrt{a}+3\sqrt{b}\ge 5\sqrt[4]{ab}\mathrm{.}$$

(Πρόταση: N. Vasilyev)

---

An Arithmetic Inequality

Έστω $\sigma(n)$ το άθροισμα των θετικών διαιρετών του $n$ (μαζί με το 1 και το $n$),
και $\varphi(n)$ ο αριθμός των θετικών ακεραίων μικρότερων ή ίσων του $n$ που είναι σχετικώς πρώτοι προς αυτό.
Απόδειξε ότι 

$$\sigma (n)+\phi (n)\ge 2n\mathrm{.}$$

(Πρόταση: V. Lev)

---

Trapezoidal Springboard

Στο τραπέζιο $ABCD$, η διαγώνιος $AC$ είναι ίσου μήκους με τη βάση $BC$, και το $H$ είναι το μέσο της βάσης $AB$.
Μια ευθεία μέσω του $H$ τέμνει τις πλευρές $AD$ και $BD$ στα σημεία $P$ και $Q$.
Απόδειξε ότι οι γωνίες $ACP$ και $QCB$ είναι ίσες ή παραπληρωματικές.
(Πρόταση: I. Sharygin)