Ολοκλήρωση κατά Riemann: Πώς υπολογίζουμε το εμβαδόν κάτω από μια καμπύλη

Η ολοκλήρωση κατά Riemann είναι μια από τις πιο θεμελιώδεις έννοιες του απειροστικού λογισμού.

Πρόκειται για μια μέθοδο υπολογισμού εμβαδών, όγκων και γενικότερα αθροιστικών ποσοτήτων, που βασίζεται σε μια απλή αλλά πανίσχυρη ιδέα:
να προσεγγίσουμε μια καμπύλη μέσω ορθογωνίων, και να δούμε τι συμβαίνει όταν τα ορθογώνια αυτά γίνονται απειροελάχιστα λεπτά.

---

Η διαδικασία βήμα προς βήμα

1️⃣ Θεωρούμε μια συνάρτηση $f(x)$ ορισμένη σ’ ένα διάστημα $[a,b]$.
2️⃣ Χωρίζουμε το διάστημα αυτό σε μικρότερα υποδιαστήματα.
3️⃣ Σε κάθε υποδιάστημα, κατασκευάζουμε ένα ορθογώνιο του οποίου το ύψος δίνεται από την τιμή της συνάρτησης $f(x)$ σε κάποιο σημείο του διαστήματος.
4️⃣ Υπολογίζουμε το άθροισμα των εμβαδών όλων αυτών των ορθογωνίων.
5️⃣ Τέλος, παίρνουμε το όριο αυτών των αθροισμάτων καθώς το πλάτος των υποδιαστημάτων τείνει στο μηδέν.

Το αποτέλεσμα αυτού του ορίου είναι το ορισμένο ολοκλήρωμα της συνάρτησης $f(x)$ στο $[a,b]$:

$${\int }_a^{b}f(x)dx$$

---

Η σημασία του ολοκληρώματος

Το ολοκλήρωμα κατά Riemann δεν είναι απλώς ένας μαθηματικός υπολογισμός.
Αντιπροσωπεύει μια συνεχή άθροιση — το άθροισμα απειροελάχιστων ποσοτήτων.
Χρησιμοποιείται για:

• τον υπολογισμό εμβαδών κάτω από καμπύλες,

• την εύρεση όγκων στερεών,

• τη μέτρηση ενέργειας, πιθανοτήτων, και πολλών ακόμη φυσικών μεγεθών.

---

Από τη γεωμετρία στην ανάλυση

Η ιδέα πίσω από την ολοκλήρωση είναι βαθιά γεωμετρική: η περιοχή κάτω από μια καμπύλη μπορεί να θεωρηθεί ως όριο αθροίσματος μικρών παραλληλογράμμων.
Αλλά η εφαρμογή της είναι απείρως πιο γενική — από τη φυσική και τη στατιστική, μέχρι την οικονομία και τη θεωρία πιθανοτήτων.

---

Συμπέρασμα

Ο Riemann (1826–1866) κατάφερε να μετατρέψει μια διαισθητική γεωμετρική ιδέα σε αυστηρή μαθηματική θεωρία, ανοίγοντας τον δρόμο για τον σύγχρονο υπολογισμό ολοκληρωμάτων.
Κάθε φορά που υπολογίζουμε το εμβαδόν κάτω από μια καμπύλη, ουσιαστικά ακολουθούμε τη μέθοδο του Riemann.