- Η εταιρεία Α δίνει ετήσια αύξηση ύψους $a$.
- Η εταιρεία Β δίνει k αυξήσεις το χρόνο, κάθε φορά από $b$.
Το ερώτημα είναι απλό στη διατύπωση αλλά όχι στην απάντηση:
Υπό ποια συνθήκη η συχνότερη, αλλά μικρότερη αύξηση της εταιρείας Β συμφέρει περισσότερο από τη μεγαλύτερη ετήσια αύξηση της εταιρείας Α;
Η ερώτηση αυτή τέθηκε στο πλαίσιο του βιβλίου του Morris Kline “Mathematics and the Search for Knowledge” (1986), όπου επισημαίνεται ότι η διαίσθηση συχνά μας οδηγεί σε λανθασμένες επιλογές.
Η Μαθηματική Διατύπωση
Αν θεωρήσουμε ότι οι αυξήσεις εφαρμόζονται άμεσα και δεν εξαρτώνται από τον αρχικό μισθό, τότε μπορούμε να συγκρίνουμε καθαρά τις δύο επιλογές.
Ορίζουμε:
An = μισθός στο n-οστό έτος υπό την επιλογή A
Bn = μισθός στο n-οστό έτος υπό την επιλογή B
Για την επιλογή A έχουμε:
An = n·a
Ενώ για την επιλογή B (με k αυξήσεις ετησίως):
B1 = (1 + 2 + 3 + … + k)·b
B2 = [(k + 1) + (k + 2) + … + (2k)]·b
Η ερώτηση που τίθεται είναι:
- Πότε είναι το B πιο πλεονεκτικό;
- Και αν ναι, μετά από πόσα χρόνια υπερισχύει;
Η Δύναμη της Μαθηματικής Ανάλυσης
Αυτό που μοιάζει με «απλό οικονομικό πρόβλημα» μετατρέπεται σε μια κομψή άσκηση σειρών, ανισοτήτων και χρονικής αξίας. Η λύση δείχνει ότι η πρώτη εντύπωση —ότι η μεγαλύτερη ετήσια αύξηση είναι πάντα καλύτερη— δεν ισχύει απαραίτητα.
Μερικές φορές η συχνότητα νικά το μέγεθος.
Ένα υπέροχο παράδειγμα για το πώς η μαθηματική σκέψη αποκαλύπτει κρυφές ισορροπίες εκεί όπου η διαίσθηση αποτυγχάνει.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου