EisatoponAI: Η Μαγευτική Συνάρτηση: Όταν το $\sin\left(\dfrac{1}{x}\right)$ Συναντά το $e^{-1/x^2}$

📌 Εισαγωγή

Στα μαθηματικά υπάρχουν συναρτήσεις που, ενώ φαίνονται «απλές», κρύβουν εντυπωσιακή θεωρία πίσω από τον ορισμό τους. Μία από αυτές είναι η συνάρτηση:

f(x) = \begin{cases} e^{-1/x^2} \cdot \sin\left(\dfrac{1}{x}\right), & x \neq 0 \\[6pt] 0, & x = 0 \end{cases}

Παρότι η $\sin(1/x)$ προκαλεί άπειρες ταλαντώσεις κοντά στο μηδέν, ο εκθετικός παράγοντας $e^{-1/x^2}$ «σβήνει» σταδιακά το πλάτος τους, δημιουργώντας μια εκπληκτική γεωμετρική μορφή.

🔹 Συμπεριφορά της Συνάρτησης

1️⃣ Συνέχεια στο $x=0$

Παρά τις έντονες ταλαντώσεις, η $f(x)$ είναι συνεχής στο $x=0$:

\lim_{x\to 0} e^{-1/x^2} \cdot \sin\left(\dfrac{1}{x}\right) = 0

Απόδειξη:
Εφόσον $|\sin(1/x)| \leq 1$, έχουμε:

\left|f(x)\right| = \left|e^{-1/x^2} \cdot \sin\left(\dfrac{1}{x}\right)\right| \leq e^{-1/x^2}

Καθώς $x \to 0$, το $e^{-1/x^2} \to 0$, άρα $f(0)=0$.
Συμπέρασμα: η συνάρτηση είναι συνεχής στο $x=0$.

2️⃣ Παραγωγισιμότητα στο $x=0$

Η $f(x)$ είναι απείρως διαφορίσιμη στο $\mathbb{R}$.
Η παράγωγος στο μηδέν υπολογίζεται:

f'(0)=\lim_{h\to 0} \dfrac{f(h)-f(0)}{h} = \lim_{h\to 0} \dfrac{e^{-1/h^2}\cdot \sin(1/h)}{h} = 0

Ο λόγος είναι ότι ο εκθετικός όρος $e^{-1/h^2}$ μειώνεται ταχύτερα από οποιαδήποτε πολυωνυμική αύξηση.

3️⃣ Όλες οι Παράγωγοι στο Μηδέν

Με επαγωγή προκύπτει:

f^{(n)}(0)=0, \quad \forall n \in \mathbb{N}

Η n-οστή παράγωγος για $x \neq 0$ έχει τη μορφή:

f^{(n)}(x) = e^{-1/x^2} \cdot P_n\!\left(\dfrac{1}{x}\right)

όπου $P_n$ είναι πολυώνυμο σε $\dfrac{1}{x}$, συνδυάζοντας $\sin(1/x)$ και $\cos(1/x)$.

Ο εκθετικός όρος εξαφανίζει πάντα κάθε πολυωνυμικό πολλαπλασιαστή, οπότε όλες οι παράγωγοι στο $0$ είναι μηδενικές.

🔹 Η Σειρά Taylor και η Μη-Αναλυτικότητα

Η Σειρά Taylor γύρω από το $x=0$

Η σειρά Taylor είναι:

T(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\cdots = 0

Μη-Αναλυτικότητα

Η σειρά Taylor δεν αναπαριστά τη συνάρτηση γύρω από το $x=0$. Παρά το ότι $f^{(n)}(0)=0$ για κάθε $n$, η $f(x)\neq 0$ για $x\neq 0$.
Η $f(x)$ είναι ομαλή ($C^\infty$) αλλά όχι αναλυτική στο μηδέν.

🔹 Γεωμετρική Ερμηνεία

Συχνότητα ταλαντώσεων: Καθώς $x \to 0$, η $\sin(1/x)$ ταλαντώνεται άπειρα γρήγορα.
Πλάτος ταλαντώσεων: Ο όρος $e^{-1/x^2}$ μειώνει το πλάτος εκθετικά.
Οπτικό αποτέλεσμα: Δημιουργείται ένα σχήμα που μοιάζει με κώνο που «σβήνει» στο μηδέν.