A Classical Power Sum Identity – AMM Problem (1915)

Μια κλασική ταυτότητα δυνάμεων

Αποδείξτε ότι για κάθε θετικό ακέραιο n = 1, 2, 3, … ισχύει η ταυτότητα:

(1⁵ + 2⁵ + ... + n⁵) + (1⁷ + 2⁷ + ... + n⁷) = 2·(1 + 2 + ... + n)⁴

Δηλαδή, το άθροισμα των 5ων και 7ων δυνάμεων μέχρι το n ισούται με το διπλάσιο της 4ης δύναμης του τριγωνικού αριθμού.

A Classical Power Sum Identity

Prove that for every positive integer n = 1, 2, 3, … the following identity holds:

(1⁵ + 2⁵ + ... + n⁵) + (1⁷ + 2⁷ + ... + n⁷) = 2·(1 + 2 + ... + n)⁴

That is, the sum of the 5th powers and the sum of the 7th powers up to n equals twice the fourth power of the triangular number.