Το περπάτημα του μυρμηγκιού: Πότε επιστρέφει στην αρχική θέση;
Εκφώνηση
Ένα μυρμήγκι κινείται πάνω σε ένα τραπέζι με σταθερή ταχύτητα προς μία κατεύθυνση. Κάθε 15 λεπτά αλλάζει κατεύθυνση στρίβοντας κατά 90°, διατηρώντας την ίδια ταχύτητα.
Να αποδείξετε ότι το μυρμήγκι μπορεί να επιστρέψει στο αρχικό του σημείο μόνο αφού έχουν περάσει ακέραιες ώρες.
1 σχόλιο:
Για να βρεθεί το μυρμήγκι ξανά στην αρχική θέση, έστω τη (0,0), συμβαίνουν σωρευτικά τα ακόλουθα:
ΑπάντησηΔιαγραφή1. Όσα βήματα κάνει στη θετική οριζόντια κατεύθυνση (+χ), ακριβώς άλλα τόσα κάνει στην αρνητική (-χ),
2. Όσα βήματα κάνει στη θετική κάθετη κατεύθυνση (+ψ), ακριβώς άλλα τόσα κάνει στην αρνητική (-ψ),
3. Όσα βήματα κάνει οριζόντια (+/-χ), ακριβώς άλλα τόσα κάνει κάθετα (+/-ψ).
Επομένως, αν κάνει α βήματα +χ και β βήματα +ψ, κάνει 2α βήματα +/-χ και 2β βήματα +/-ψ, με 2α=2β.
Κάνει επομένως συνολικά 2α+2β = 4α βήματα διάρκειας 15 λεπτών το καθένα, άρα συνολικής διάρκειας 4α*15 = 60α λεπτών ό.έ.δ.