Απόδειξη ανισότητας για τέσσερις θετικούς αριθμούς

Έστω $a,b,c,d>0$. Να αποδείξετε την ανισότητα

$$\frac{1}{a^{4}+b^{4}+c^{4}+abcd}\;+\; \frac{1}{b^{4}+c^{4}+d^{4}+abcd}\;+\; \frac{1}{c^{4}+d^{4}+a^{4}+abcd}\;+\; \frac{1}{d^{4}+a^{4}+b^{4}+abcd} \;\le\; \frac{1}{abcd}.$$