Ανισότητες Αναδιάταξης: Μια Εισαγωγή για Μαθητές Λυκείου

Φανταστείτε ότι έχετε έναν πίνακα όπως αυτός:

Πρέπει να τοποθετήσετε τους αριθμούς 4, 5, 6 στη σειρά "y", να πολλαπλασιάσετε τους αριθμούς σε κάθε στήλη, και να βρείτε το άθροισμα των γινομένων.

Ερώτηση: Πώς πρέπει να τοποθετήσετε τα νούμερα 4, 5, 6 ώστε να πάρετε το μέγιστο άθροισμα; Και πώς για το ελάχιστο;

Η Λύση

Αν δοκιμάσετε όλες τις δυνατές διατάξεις, θα ανακαλύψετε κάτι εντυπωσιακό:

• Μέγιστο άθροισμα = 32: Προκύπτει όταν τοποθετήσουμε τα y σε αύξουσα σειρά (4, 5, 6)

  • 1×4 + 2×5 + 3×6 = 4 + 10 + 18 = 32

• Ελάχιστο άθροισμα = 28: Προκύπτει όταν τοποθετήσουμε τα y σε φθίνουσα σειρά (6, 5, 4)

  • 1×6 + 2×5 + 3×4 = 6 + 10 + 12 = 28

Αυτό δεν είναι τυχαίο! Είναι μια εφαρμογή ενός βασικού θεωρήματος που ονομάζεται Ανισότητα Αναδιάταξης.

Το Θεώρημα της Αναδιάταξης

Για Αθροίσματα Γινομένων

Θεώρημα: Έστω x₁ ≤ x₂ ≤ ... ≤ xₙ θετικοί αριθμοί σε αύξουσα σειρά, και y₁, y₂, ..., yₙ θετικοί αριθμοί. Αν z₁, z₂, ..., zₙ είναι μια αναδιάταξη των y, τότε το άθροισμα:

x₁z₁ + x₂z₂ + ... + xₙzₙ

• Είναι μέγιστο όταν τα z είναι σε αύξουσα σειρά
• Είναι ελάχιστο όταν τα z είναι σε φθίνουσα σειρά

Η Διαίσθηση Πίσω από το Θεώρημα

Σκεφτείτε το έτσι: Για να μεγιστοποιήσετε το άθροισμα, θέλετε να "ταιριάξετε" τους μεγάλους με τους μεγάλους και τους μικρούς με τους μικρούς. Έτσι εκμεταλλεύεστε πλήρως τις μεγάλες τιμές.

Αντίθετα, για να ελαχιστοποιήσετε το άθροισμα, ταιριάζετε τους μεγάλους με τους μικρούς, ώστε να "σπαταλάτε" τις μεγάλες τιμές πολλαπλασιάζοντάς τες με μικρούς αριθμούς.

Παραδείγματα και Εφαρμογές

Παράδειγμα 1: Η Ανισότητα AM-GM

Για δύο θετικούς αριθμούς a ≤ b, η ανισότητα αναδιάταξης μας δίνει:

ab + ba ≤ a² + b²

Αν διαιρέσουμε με 2:

ab ≤ (a² + b²)/2

Αυτή είναι μια μορφή της γνωστής ανισότητας αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου!

Παράδειγμα 2: Μια Κλασική Άσκηση

Αν a, b, c είναι θετικοί αριθμοί, να αποδείξετε ότι:

(a+b)/c + (b+c)/a + (c+a)/b ≥ 6

Απόδειξη: Χωρίς βλάβη της γενικότητας, έστω a ≤ b ≤ c. Θέτουμε:

• x₁ = a, x₂ = b, x₃ = c
• y₁ = 1/a, y₂ = 1/b, y₃ = 1/c

Παρατηρούμε ότι y₃ ≤ y₂ ≤ y₁ (αντίστροφη σειρά!).

Από την ανισότητα αναδιάταξης, για οποιαδήποτε διάταξη z₁, z₂, z₃ των y:

x₁z₁ + x₂z₂ + x₃z₃ ≥ x₁y₁ + x₂y₂ + x₃y₃ = a/a + b/b + c/c = 3

Επιλέγοντας δύο συγκεκριμένες διατάξεις και προσθέτοντας, παίρνουμε το ζητούμενο!

Παράδειγμα 3: Γινόμενα Αθροισμάτων

Υπάρχει και μια "αντίστροφη" εκδοχή του θεωρήματος:

Θεώρημα: Με τις ίδιες συμβολισμούς, το γινόμενο:

(x₁ + z₁)(x₂ + z₂)...(xₙ + zₙ)

• Είναι μέγιστο όταν τα z είναι σε φθίνουσα σειρά
• Είναι ελάχιστο όταν τα z είναι σε αύξουσα σειρά

Παράδειγμα: Για x₁ = 1, x₂ = 2, x₃ = 3 και z = {4, 5, 6}:

• Ελάχιστο: (1+4)(2+5)(3+6) = 5×7×9 = 315 (αύξουσα)
• Μέγιστο: (1+6)(2+5)(3+4) = 7×7×7 = 343 (φθίνουσα)

Μια Απλή Απόδειξη

Η ιδέα πίσω από την απόδειξη είναι απλή και κομψή:

1. Αν τα z δεν είναι σε αύξουσα σειρά, υπάρχει κάποιο k με zₖ > zₖ₊₁

2. Αν τα ανταλλάξουμε, το νέο άθροισμα S' - S ισούται με:

   S' - S = (xₖ₊₁ - xₖ)(zₖ - zₖ₊₁) ≥ 0

   (Και οι δύο παρενθέσεις είναι μη αρνητικές!)

3. Επαναλαμβάνοντας αυτή τη διαδικασία, φτάνουμε στην αύξουσα διάταξη που δίνει το μέγιστο.

Πρακτικές Συμβουλές

Όταν αντιμετωπίζετε μια άσκηση με ανισότητες:

1. Αναγνωρίστε τη δομή: Ψάξτε για αθροίσματα γινομένων ή γινόμενα αθροισμάτων

2. Ταξινομήστε τις μεταβλητές: Βρείτε ποιο σύνολο αριθμών μπορεί να παίξει το ρόλο των x (αύξουσα σειρά)

3. Εφαρμόστε το θεώρημα: Χρησιμοποιήστε την κατάλληλη εκδοχή (αθροίσματα ή γινόμενα)

4. Προσέξτε τη συμμετρία: Μερικές φορές μπορείτε να υποθέσετε μια σειρά χωρίς βλάβη της γενικότητας

---

Ασκήσεις προς εξάσκηση:

1. Δείξτε ότι για θετικούς a, b, c: a³ + b³ + c³ ≥ 3abc (Υπόδειξη: Χρησιμοποιήστε αναδιάταξη με a², b², c²)

2. Αν x₁, x₂, ..., xₙ είναι θετικοί, βρείτε τη μέγιστη τιμή του: x₁² + x₂² + ... + xₙ² όταν x₁ + x₂ + ... + xₙ = 1

3. Για θετικούς a, b, c με άθροισμα 3, δείξτε ότι: 1/a + 1/b + 1/c ≥ 3