Εμβαδόν χωρίου ανάμεσα σε παραβολή και ευθεία – Ελάχιστη τιμή με ολοκλήρωση

 

Δίνεται η παραβολή

$$C:\ y = x^{2} + x - 5$$

και η ευθεία

$$ε:\ y = m x$$

με πραγματική παράμετρο $m$.

Η ευθεία $ε$ τέμνει την παραβολή $C$ σε δύο σημεία με τετμημένες $\alpha$ και $\beta$, όπου $\alpha < \beta$. Το επίπεδο χωρίζεται έτσι σε διάφορα χωρία, και με $S$ συμβολίζουμε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την παραβολή $C$ και την ευθεία $ε$ ανάμεσα στις τετμημένες $\alpha$ και $\beta$ (σκιασμένο χωρίο στο σχήμα).

Γνωρίζουμε ότι, όταν το εμβαδόν $S$ γίνει ελάχιστο, ισχύει η σχέση

$$S_{\min} = \frac{1}{6}(\beta - \alpha)^3.$$

Να βρείτε:

1. Την τιμή της παραμέτρου $m$ για την οποία το εμβαδόν $S$ είναι ελάχιστο.

2. Την αντίστοιχη ελάχιστη τιμή $S_{\min}$.