🔹Ένας Έξυπνος Τρόπος Ελέγχου Ορίζουσας – Απλή Μαθηματική Τεχνική

Όταν υπολογίζουμε ορίζουσες (determinants), ειδικά σε πίνακες 3×3 ή 4×4, είναι εύκολο να γίνει ένα μικρό αριθμητικό λάθος.
Υπάρχει όμως ένας απλός τρόπος ελέγχου, που μπορεί να μας δείξει αν το αποτέλεσμα είναι σωστό!

🔸 Η Ιδέα

Αν έχουμε μια ορίζουσα $D$ τάξης $n$, μπορούμε να φτιάξουμε μια "ορίζουσα ελέγχου" $D_1$ ως εξής:

1. Υπολόγισε τα αθροίσματα των στηλών του πίνακα (δηλαδή, για κάθε στήλη άθροισε όλα τα στοιχεία της).
   Αυτή η γραμμή λέγεται γραμμή ελέγχου.

2. Αν το $n$ είναι περιττός αριθμός (3, 5, ...):

   • Διέγραψε την πρώτη γραμμή του πίνακα.

   • Τοποθέτησε τη γραμμή ελέγχου στο τέλος του πίνακα.

3. Αν το $n$ είναι άρτιος αριθμός (4, 6, ...):

   • Κάνε το ίδιο, αλλά πολλαπλασίασε τη γραμμή ελέγχου με -1 (αντιστροφή πρόσημων).

Αν υπολογίσεις τώρα την καινούρια ορίζουσα $D_1$, τότε θα ισχύει:

$$D_1 = D$$

(όταν το $n$ είναι περιττό)
ή

$$D_1 = -D$$

(όταν το $n$ είναι άρτιο).

---

🔸 Παράδειγμα 1 (Πίνακας 3×3)

$$D = \begin{vmatrix} 3 & 2 & 1\\ 2 & 5 & 3\\ 1 & 4 & 3 \end{vmatrix} = 6$$

Γραμμή ελέγχου = (6, 11, 7)

$$D_1 = \begin{vmatrix} 2 & 5 & 3\\ 1 & 4 & 3\\ 6 & 11 & 7 \end{vmatrix} = 6$$

✅ Ο έλεγχος επιβεβαιώνει ότι το αποτέλεσμα είναι σωστό!

---

🔸 Παράδειγμα 2 (Πίνακας 4×4)

$$D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 5 & 7 & 9 & 3\\ 2 & 1 & 8 & 2\\ 4 & 2 & 6 & 5 \end{vmatrix} = -4$$

Γραμμή ελέγχου = (12, 11, 24, 11)

Επειδή ο πίνακας είναι 4×4 (άρτιος), αντιστρέφουμε τα πρόσημα:

$$D_1 = \begin{vmatrix} 5 & 7 & 9 & 3\\ 2 & 1 & 8 & 2\\ 4 & 2 & 6 & 5\\ -12 & -11 & -24 & -11 \end{vmatrix} = -4$$

✅ Ίδιο αποτέλεσμα ⇒ Ο υπολογισμός του $D$ είναι σωστός!

---

🔹 Συμπέρασμα

Με αυτόν τον έξυπνο τρόπο μπορούμε να ελέγχουμε την ορθότητα μιας ορίζουσας χωρίς να χρειάζεται να την ξαναϋπολογίσουμε από την αρχή!
Μια μικρή αλλά πολύ χρήσιμη μαθηματική τεχνική για τους φίλους της Άλγεβρας.