Τη νύχτα, ο πρώτος πειρατής, φοβούμενος ότι δε θα πάρει το δίκαιο μερίδιό του, παρατηρεί ότι αν αφαιρέσει ένα νόμισμα, το υπόλοιπο θα είναι διαιρετό με το 4. Έτσι παίρνει ένα νόμισμα και το ένα τέταρτο από ό,τι απομένει.
Ο δεύτερος πειρατής ξυπνά λίγο αργότερα και κάνει ακριβώς το ίδιο: παίρνει ένα νόμισμα και το ένα τέταρτο από τα υπόλοιπα. Το ίδιο πράττουν διαδοχικά ο τρίτος και ο τέταρτος πειρατής.
Το επόμενο πρωί, όταν οι τέσσερις πειρατές συναντιούνται για να μοιράσουν τα υπόλοιπα νομίσματα, διαπιστώνουν ότι ο αριθμός των νομισμάτων που έμεινε είναι διαιρετός με το 4.
Ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός χρυσών νομισμάτων που υπήρχαν αρχικά στο κουτί;
2 σχόλια:
Ο ελάχιστος αριθμός χρυσών νομισμάτων που υπήρχαν αρχικά στο κουτί ήταν 765.
ΑπάντησηΔιαγραφήΑναλυτική λύση εν ευθέτω χρόνω.😊😊
... και η λύση αναλυτικά.
ΑπάντησηΔιαγραφήΈστω x ο αρχικός αριθμός των νομισμάτων.
1ος πειρατής: 4/4-(1/4)*(x-1)=3*(x-1)/4=(3x-3)/4 (1)
2ος πειρατής: (3/4)*((3χ-3)/4))-1=(3/4)*(3χ-3-4)/4=(9χ-9-12)/16=(9χ-21)/16 (2)
3ος πειρατής : (3/4)*((9x-21)/16)-1=(3/4)*(9x-21-16)/16=(27x-63-48)/64=(27x-111)/64 (3)
4ος πειρατής: (3/4)*((27x-111/64))-1=(3/4)*(27x-111-64/64)=(81x-333-192)/256=(81x-525)/256 (4)
Επειδή το υπόλοιπο των χρυσών νομισμάτων που έμειναν είναι διαιρετό με το 4, έχουμε την εξίσωση:
(81x-525)/256=4α , για κάποιο ακέραιο α ≥ 0
(81x-525)/256=4α === 81x-525=4α*256 === 81x-525=1.024α === 81x=1.024α+525=== x=(1.024α+525)/81 (5)
Διερεύνηση:
Λύνουμε τον ένα άγνωστο συναρτήσει του άλλου και κάνουμε την διερεύνηση των ακέραιων ριζών. Δίνοντας στο "α" τις τιμές από το 1 έως το Ν, βλέπουμε ότι η μοναδική τιμή που ικανοποιεί τη συνθήκη και δίνει ακέραιο αριθμό "x" είναι ο αριθμός α=60 (6).
Αντικαθιστούμε τη τιμή του «α» στη (5) κι’ έχουμε:
x=(1.024α+525)/81 === x=(1.024*60+525)/81 === x= (61.440+525)/81 === x=61.965/81 === x=765 χρυσά νομίσματα
Επαλήθευση:
1ος πειρατής: (3x-3)/4=((3*765)-3)/4=(2.295-3)/4=2.292/4=573
2ος πειρατής: (9χ-21)/16=((9*765)-21)/16=(6.885-21)/16=6.864/16=429
3ος πειρατής: (27x-111)/64=((27*765)-111)/64=(20.655-111)/64=20.544/64=321
4ος πειρατής: (81x-525)/256=((81*765)-525)/256=(61.965-525)/256=61.440/256=240
Το πρωί μένουν 240 χρυσά νομίσματα — και όντως το ποσό αυτό είναι διαιρετό με το 4 (240:4=60).
Κάθε πειρατής πείρε:
1ος πειρατής: 191+1=192 χρυσά νομίσματα
2ος πειρατής: 143+1=144 χρυσά νομίσματα
3ος πειρατής: 107+1=108 χρυσά νομίσματα
4ος πειρατής: 80+1=81 χρυσά νομίσματα
Σύνολο: 525 χρυσά νομίσματα
Επί πλέον κάθε πειρατής πείρε μέρισμα του υπόλοιπου των χρυσών νομισμάτων
που ανέρχεται σε 240 και αντιστοιχεί σε: 240:4=60 χρυσά νομίσματα, οπότε έχουμε
σύνολο ανά πειρατή:
1ος πειρατής: 192+60=252 χρυσά νομίσματα
2ος πειρατής: 144+60=204 χρυσά νομίσματα
3ος πειρατής: 108+60=168 χρυσά νομίσματα
4ος πειρατής: 81+60=141 χρυσά νομίσματα
Σύνολο: 252+204+168+141=765 ο.ε.δ.