Μέσες Τιμές και Συναρτησιακές Εξισώσεις: Δύο Κλαστικά Προβλήματα

1. Βρείτε όλες τις συναρτήσεις $f$ για τις οποίες ισχύει:

$$f\left(\frac{x+y}{2}\right)=\frac{f(x)+f(y)}{2},$$

για κάθε $x,y$ στο πεδίο ορισμού της $f$.

2. Βρείτε όλες τις συναρτήσεις $f$ για τις οποίες ισχύει:

$$f\left(\frac{x+y}{2}\right)=\frac{2f(x)f(y)}{f(x)+f(y)},$$

για κάθε $x,y$ για τα οποία ο παραπάνω τύπος έχει νόημα.