Παράξενο γινόμενο «αστεράκι» και παραγοντοποίηση ακεραίων

Ορίζουμε για ακεραίους $a,b$ το γινόμενο με αστεράκι:

$$a\ast b \;=\; ab+a+b\;=\;b\ast a.$$

(i) Δείξτε ότι κάθε ακέραιος $n$ έχει την $\ast$παραγοντοποίηση

$$n \;=\; 0\ast n .$$

(ii) Δείξτε ότι ο $n$ έχει επίσης παραγοντοποίηση της μορφής

$$n \;=\;(-2)\ast m$$

για κάποιον ακέραιο $m$, βρίσκοντας κατάλληλο $m$.

(iii) Βρείτε όλες τις ∗ παραγοντοποιήσεις των αριθμών

$$18 \quad \text{και} \quad 19 .$$

(iv) Βρείτε όλους τους ακεραίους $n$ που δεν έχουν καμία ∗ παραγοντοποίηση πέρα από εκείνες στις οποίες ένας από τους ∗ παράγοντες είναι $0$ ή $-2$.