Λύση Συστήματος Δύο Δευτεροβάθμιων Εξισώσεων — Τομές Κωνικών

Πρόβλημα

Βρείτε τα σημεία τομής των καμπυλών

$$\begin{cases} 5x^2-8xy+5y^2+26x-28y+32=0\\[2pt] 2x^2-5xy+2y^2+14x-13y+20=0 \end{cases}$$

Λύση 

Έστω σημείο τομής $(a,b)$. Με αντικατάσταση $x=a$, $y=b$ προκύπτουν:

$$\begin{aligned} &5a^2+(26-8b)a= -5b^2+28b-32,\\ &2a^2+(14-5b)a= -2b^2+13b-20. \end{aligned}$$

Θέτουμε $x_1=a^2$, $x_2=a$. Παίρνουμε γραμμικό σύστημα ως προς $x_1,x_2$:

$$\begin{cases} 5x_1+(26-8b)x_2= -5b^2+28b-32,\\ 2x_1+(14-5b)x_2= -2b^2+13b-20. \end{cases}$$

Η ορίζουσα των συντελεστών είναι $\Delta=5(14-5b)-2(26-8b)=2(2-b)$.
Άρα $b\mathrm{\ne }\mathrm{2.\; {\rm M}\epsilon \; \kappa \alpha \nu ό\nu \alpha \; Cramer\; \beta \rho ί\sigma \kappa o\upsilon \mu \epsilon }$$x_1,x_2$ ρητά ως συναρτήσεις του $b$ και απαιτούμε η σχέση $x_1=x_2^2$ (δηλ. $a^2=a^2$) να ισχύει. Μετά από πράξεις προκύπτει εξίσωση μόνο για το $b$:

$$(2-b)\bigl(b^3-6b^2+6b+8\bigr)=(b-4)^2$$

ισοδύναμα

$$b^4-8b^3+19b^2-12b=0 \quad\Longleftrightarrow\quad b\,(b-1)\,(b-3)\,(b-4)=0.$$

Άρα $b\in\{0,1,3,4\}$. Βρίσκουμε το αντίστοιχο $a$ από μία από τις δύο αρχικές (π.χ. $5a^2+(26-8b)a= -5b^2+28b-32$:

• Για $b=0$: $\;5a^2+26a=-32 \Rightarrow a=-2$.

• Για $b=1$: $\;5a^2+18a=-9 \Rightarrow a=-3$.

• Για $b=3$: $\;5a^2+2a=4 \Rightarrow a=1$.

• Για $b=4$: $\;5a^2-6a=0 \Rightarrow a=0$.

Απάντηση

$$(-2,0),(-3,1),(1,3),(0,4)\mathrm{.}$$

---

Άσκηση

Λύστε το σύστημα

$$\begin{cases} x^2-3xy+2y^2-16x-28y=0\\ x^2-xy-2y^2-5x-5y=0 \end{cases}$$