Το Θεμελιώδες Θεώρημα της Αριθμητικής: Η μοναδικότητα της παραγοντοποίησης όπως την διατύπωσε ο Carl Friedrich Gauss

Το Θεμελιώδες Θεώρημα της Αριθμητικής αποτελεί έναν από τους ακρογωνιαίους λίθους της αριθμητικής και της θεωρίας αριθμών. Παρά τη φαινομενική απλότητά του, περιγράφει κάτι βαθύ και θεμελιώδες για τη δομή των φυσικών αριθμών.

Διατυπώνεται ως εξής:

Κάθε ακέραιος αριθμός n > 1 είναι είτε πρώτος, είτε μπορεί να γραφτεί ως γινόμενο πρώτων αριθμών με έναν και μόνο τρόπο (πέρα από τη σειρά των παραγόντων).

Με άλλα λόγια, οι πρώτοι αριθμοί είναι τα «δομικά στοιχεία» όλων των φυσικών αριθμών. Όπως τα χημικά στοιχεία στη φύση, έτσι και οι πρώτοι αριθμοί αποτελούν τη βάση πάνω στην οποία χτίζονται όλοι οι υπόλοιποι.

Η επισημοποίηση και η αυστηρή διατύπωση του θεωρήματος ανήκει στον Carl Friedrich Gauss, ο οποίος στο μνημειώδες έργο του Disquisitiones Arithmeticae (1801) έθεσε τα θεμέλια της σύγχρονης θεωρίας αριθμών. Η συμβολή του θεωρείται τόσο σημαντική ώστε το συγκεκριμένο θεώρημα συχνά αποδίδεται τιμητικά στο όνομά του.

Το Θεμελιώδες Θεώρημα της Αριθμητικής δεν είναι απλώς μια κομψή μαθηματική ιδέα· αποτελεί τη βάση για πλήθος σύγχρονων εφαρμογών, από αλγόριθμους και κρυπτογραφία έως την ανάλυση των αριθμών σε υπολογιστικά συστήματα.

Ο Gauss, δικαίως αποκαλούμενος Princeps Mathematicorum —«Πρίγκιπας των Μαθηματικών»—, έδειξε για ακόμη μία φορά πως η βαθιά κατανόηση των απλών πραγμάτων ανοίγει τον δρόμο για τα πιο σύνθετα.