Equilateral Triangles in the Complex Plane – A Symmetric Condition

Ισόπλευρα τρίγωνα στο μιγαδικό επίπεδο

Στη μιγαδική ανάλυση τα μιγαδικά z ∈ ℂ παριστάνονται ως σημεία στο επίπεδο. Έτσι, κάθε τριάδα μιγαδικών αριθμών a, b, c ορίζει ένα τρίγωνο. Ένα φυσικό ερώτημα είναι:

Πότε τα a, b, c σχηματίζουν ισόπλευρο τρίγωνο;

Ο Ahlfors προτείνει μια πολύ κομψή απάντηση: τα a, b, c είναι κορυφές ισόπλευρου τριγώνου αν και μόνο αν ισχύει η συμμετρική σχέση

a² + b² + c² = ab + bc + ca.

Πρόκειται για μια όμορφη, πλήρως συμμετρική συνθήκη, που δεν ξεχωρίζει κανένα από τα τρία σημεία.

1. Μιγαδικοί και τρίγωνα

Θυμίζουμε ότι κάθε μιγαδικός αριθμός παρίσταται ως σημείο στο καρτεσιανό επίπεδο. Έτσι, τα σημεία με μιγαδικές συντεταγμένες a, b, c ορίζουν τρίγωνο με κορυφές αυτά τα σημεία.

Σχήμα 1. Το τρίγωνο με κορυφές τα a, b, c στο μιγαδικό επίπεδο.

Ένα τρίγωνο είναι ισόπλευρο αν όλες οι πλευρές έχουν το ίδιο μήκος, δηλαδή

|a − b| = |b − c| = |c − a|.

Θα δούμε πώς αυτή η γεωμετρική συνθήκη οδηγεί ακριβώς στην εξίσωση a² + b² + c² = ab + bc + ca.

2. Μεταφορά και ομοιότητα

Ένα σημαντικό πλεονέκτημα του μιγαδικού επιπέδου είναι ότι μπορούμε να μετακινούμε και να μεγεθύνουμε σχήματα αλγεβρικά:

• Προσθέτοντας τον ίδιο μιγαδικό αριθμό σε όλα τα σημεία, μετατοπίζουμε το τρίγωνο.
• Πολλαπλασιάζοντας όλα τα σημεία με έναν μη μηδενικό μιγαδικό, κάνουμε περιστροφή και ομοιοθεσία.

Αν από τα a, b, c αφαιρέσουμε το a, παίρνουμε νέες κορυφές 0, b−a, c−a. Η ισότητα

a² + b² + c² = ab + bc + ca

διατηρείται αν προσθέσουμε την ίδια ποσότητα και στα δύο μέλη, άρα η συνθήκη είναι ανεξάρτητη από μεταφορά. Επιπλέον, αν πολλαπλασιάσουμε τους τρεις αριθμούς με τον ίδιο μη μηδενικό μιγαδικό, τόσο τα μήκη των πλευρών όσο και η εξίσωση πολλαπλασιάζονται ομοιόμορφα, οπότε είναι και ανεξάρτητη από ομοιοθεσία.

Χρησιμοποιώντας αυτές τις παρατηρήσεις, μπορούμε πάντα να φέρουμε το τρίγωνο σε «κανονική θέση» με μία κορυφή στο 0 και μια πλευρά σε οριζόντια διεύθυνση, αλλά η εξίσωση παραμένει ίδια.

3. Μια πιο συμμετρική προσέγγιση

Ας γράψουμε ξανά τη συνθήκη:

a² + b² + c² − ab − bc − ca = 0.

Θέτουμε τώρα x = b − c, y = c − a, z = a − b. Τότε x, y, z είναι, ουσιαστικά, τα διανύσματα των πλευρών του τριγώνου. Επιπλέον ισχύει

x + y + z = 0.

Με πράξεις, η αρχική εξίσωση γίνεται ισοδύναμη με

x² + y² + z² = 0.

Σχήμα 2. Τα διανύσματα πλευρών x, y, z με x + y + z = 0.

Γεωμετρικά, οι σχέσεις x + y + z = 0 και x² + y² + z² = 0 σημαίνουν ότι τα τρία διανύσματα έχουν ίδιο μήκος και σχηματίζουν μεταξύ τους γωνίες 120°. Άρα οι πλευρές του τριγώνου είναι ίσες και το τρίγωνο είναι ισόπλευρο.

4. Συμπέρασμα

Μέσα από μια κομψή αλγεβρική σχέση καταφέραμε να περιγράψουμε πλήρως πότε τρία σημεία του μιγαδικού επιπέδου σχηματίζουν ισόπλευρο τρίγωνο. Η συνθήκη

a² + b² + c² = ab + bc + ca

είναι συμμετρική, ανεξάρτητη από τη θέση και το μέγεθος του τριγώνου, και συνδέει όμορφα την αλγεβρική μορφή των μιγαδικών με τη γεωμετρία του επιπέδου.

Equilateral Triangles in the Complex Plane

In complex analysis we often identify each complex number z ∈ ℂ with a point in the plane. Thus three complex numbers a, b, c form a triangle. A natural question is:

When do a, b, c form the vertices of an equilateral triangle?

A classical exercise in Ahlfors’ Complex Analysis gives a very elegant answer: the points a, b, c form an equilateral triangle if and only if

a² + b² + c² = ab + bc + ca.

This is a beautifully symmetric condition: the three complex numbers appear in exactly the same way.

1. Complex numbers and triangles

Each complex number corresponds to a point in the plane, so a, b, c determine a triangle with those vertices.

Figure 1. The triangle with vertices a, b, c in the complex plane.

The triangle is equilateral precisely when all three side lengths are equal:

|a − b| = |b − c| = |c − a|.

2. Translation and similarity

In the complex plane, translations and similarities are described very simply:

• Adding the same complex number to a, b, c translates the whole triangle.
• Multiplying a, b, c by the same non-zero complex number rotates and scales it.

Thus the equation a² + b² + c² = ab + bc + ca is invariant under translation and similarity.

3. A more symmetric viewpoint

Rewrite the equation as:

a² + b² + c² − ab − bc − ca = 0.

Set x = b − c, y = c − a, and z = a − b. These represent the side vectors of the triangle. They satisfy:

x + y + z = 0.

In terms of these vectors, the condition becomes:

x² + y² + z² = 0.

Figure 2. Side vectors x, y, z in the complex plane.

Geometrically, these conditions mean the three side vectors have equal length and differ in direction by 120°. Thus the triangle is equilateral.

4. Conclusion

We obtain a clean algebraic characterisation of equilateral triangles in the complex plane:

a² + b² + c² = ab + bc + ca.

This symmetric condition beautifully ties together algebra and geometry.