Θεώρημα Παραγοντοποίησης Πολυωνύμων (Factor Theorem)

Θεώρημα

Για ένα πολυώνυμο $f(x)f(x)$ ισχύει:

$$(x-a)\text{ ε}\acute{\text{ι}}\text{ναι παρ}\acute{\text{α}}\text{γοντας του }f(x)⟺f(a)=0(x-a)\; \backslash text\{\; \epsilon ί\nu \alpha \iota \; \pi \alpha \rho ά\gamma o\nu \tau \alpha \varsigma \; \tau o\upsilon \; \}\; f(x)\; \backslash quad\; \backslash Longleftrightarrow\; \backslash quad\; f(a)=0$$

$$$$

📐 Απόδειξη με Ευκλείδεια Διαίρεση

Διαιρούμε το $f(x)f(x)$ με το $(x-a)(x-a)$:

$$f(x)=(x-a)Q(x)+\upsilon f(x)\; =\; (x-a)Q(x)\; +\; \backslash upsilon$$

• Το $Q(x)Q(x)$ είναι το πηλίκο.

• Το $\upsilon \backslash upsilon$ είναι το υπόλοιπο, που λόγω βαθμού είναι σταθερά.

Θέτοντας $x=ax=a$:

$$f(a)=(a-a)Q(a)+\upsilon =\upsilon f(a)\; =\; (a-a)Q(a)\; +\; \backslash upsilon\; =\; \backslash upsilon$$

Αυτό είναι το Θεώρημα Υπολοίπου.

• Αν $\upsilon =0\backslash upsilon=0$, τότε $f(a)=0f(a)=0$ και $(x-a)(x-a)$ είναι παράγοντας.

• Αν $f(a)=0f(a)=0$, τότε $\upsilon =0\backslash upsilon=0$ και άρα $(x-a)(x-a)$ διαιρεί το $f(x)f(x)$.

⚙️ Εφαρμογές στην Παραγοντοποίηση

1. Εύρεση υποψήφιας ρίζας με το Θεώρημα Ρητών Ριζών.

2. Έλεγχος: Υπολογίζουμε $f(a)f(a)$. Αν $f(a)=0f(a)=0$, τότε $(x-a)(x-a)$ είναι παράγοντας.

3. Συνθετική διαίρεση (σχήμα Horner): Διαιρούμε το πολυώνυμο με $(x-a)(x-a)$ για να μειώσουμε τον βαθμό.

4. Συνέχιση: Επαναλαμβάνουμε μέχρι να φτάσουμε σε πλήρη παραγοντοποίηση.

✨ Παράδειγμα

Έστω το πολυώνυμο:

$$p(x)=x^3+7x^2+8x+2p(x)\; =\; x^3\; +\; 7x^2\; +\; 8x\; +\; 2$$

Βήμα 1: Υποψήφιες ρίζες

Οι διαιρέτες του σταθερού όρου $22$: $\pm 1,\pm 2\backslash pm\; 1,\; \backslash pm\; 2$.

Βήμα 2: Έλεγχος

$$p(-1)=(-1{)}^3+7(-1{)}^2+8(-1)+2=-1+7-8+2=0p(-1)\; =\; (-1)^3\; +\; 7(-1)^2\; +\; 8(-1)\; +\; 2\; =\; -1\; +\; 7\; -\; 8\; +\; 2\; =\; 0$$

Άρα $x=-1x=-1$ είναι ρίζα και $(x+1)(x+1)$ είναι παράγοντας.

Βήμα 3: Διαίρεση

Διαιρούμε το $p(x)p(x)$ με $(x+1)(x+1)$:

$$Q(x)=x^2+6x+2Q(x)\; =\; x^2\; +\; 6x\; +\; 2$$

Βήμα 4: Παραγοντοποίηση του $Q(x)Q(x)$

Υπολογίζουμε τη διακρίνουσα:

$$\mathrm{\Delta }=6^2-4(1)(2)=36-8=28\backslash Delta\; =\; 6^2\; -\; 4(1)(2)\; =\; 36\; -\; 8\; =\; 28$$

$$x=\frac{-6\pm \sqrt{28}}{2}=-3\pm \sqrt{7}x\; =\; \backslash frac\{-6\; \backslash pm\; \backslash sqrt\{28\}\}\{2\}\; =\; -3\; \backslash pm\; \backslash sqrt\{7\}$$

Τελικό αποτέλεσμα:

$$p(x)=(x+1)(x+3-\sqrt{7})(x+3+\sqrt{7}$$