Game Theory Puzzle: Director’s Optimal Plan in a Company Voting Game

Η Θεωρία Παιγνίων σε μια Εταιρεία: Ποιο Είναι το Βέλτιστο Σχέδιο του Director;

Ένα φαινομενικά «διοικητικό» πρόβλημα κρύβει πίσω του ένα κλασικό εργαλείο της Θεωρίας Παιγνίων: την οπισθοδρομική επαγωγή (backward induction). Μια εταιρεία πρέπει να μοιράσει $100.000 ανάμεσα στα στελέχη και τους εργαζόμενους, με ψηφοφορίες και παρεμβάσεις της Fair Work Commission. Όλοι είναι πλήρως ορθολογικοί: θέλουν να μεγιστοποιήσουν το δικό τους μερίδιο και, σε ισοπαλία, να τελειώσουν όσο το δυνατόν πιο γρήγορα.

Η δομή της εταιρείας και οι ψήφοι

• 1 Director με 1000 ψήφους
• 10 Senior Managers με 100 ψήφους ο καθένας (σύνολο 1000)
• 100 Site Supervisors με 10 ψήφους ο καθένας (σύνολο 1000)
• 1000 Field Workers με 1 ψήφο ο καθένας (σύνολο 1000)

Συνολικά υπάρχουν 4000 ψήφοι, άρα χρειάζεται αυστηρή πλειοψηφία πάνω από 2000 ψήφους για να περάσει ένα σχέδιο.

Η διαδικασία κατανομής

1. Πρώτα προτείνει σχέδιο ο Director. Αν πάρει πλειοψηφία, εφαρμόζεται. Αν όχι, χάνει οριστικά δικαίωμα ψήφου και μεριδίου.
2. Έπειτα προτείνουν σχέδιο οι Senior Managers, το οποίο έχει την ομόφωνη υποστήριξή τους. Αν απορριφθεί, χάνουν κι αυτοί ψήφο και μερίδιο.
3. Τέλος προτείνουν σχέδιο οι Site Supervisors (πάλι ομόφωνα). Αν απορριφθεί, οι Supervisors αποκλείονται και τα $100.000 μοιράζονται εξίσου στους Field Workers.

Στόχος μας: να βρούμε το σχέδιο του Director που δεν θα καταψηφιστεί και του δίνει το μεγαλύτερο δυνατό μερίδιο. Η λύση έρχεται δουλεύοντας ανάποδα, από το τέλος προς την αρχή.

Βήμα 1 – Σενάριο A: μόνο οι Field Workers

Αν φτάσουμε στο σημείο όπου Director, Senior Managers και Supervisors έχουν αποκλειστεί, τότε η Fair Work Commission μοιράζει τα χρήματα ίσα στους Field Workers:

Σενάριο A: κάθε Field Worker παίρνει $100.000 / 1000 = $100.

Αυτό σημαίνει ότι σε οποιοδήποτε προηγούμενο στάδιο, αν ένας Field Worker με την ψήφο του ρίξει ένα σχέδιο, ξέρει ότι υπάρχει εναλλακτική στην οποία μπορεί να εξασφαλίσει $100, ακόμη κι αν χρειαστεί να περιμένει λίγο περισσότερο.

Βήμα 2 – Σενάριο B: Supervisors + Field Workers

Τώρα υποθέτουμε ότι ο Director και οι Senior Managers έχουν αποκλειστεί και ήρθε η σειρά των Supervisors να προτείνουν σχέδιο. Συνολικοί ψήφοι:

• Supervisors: 100 × 10 = 1000 ψήφοι
• Field Workers: 1000 × 1 = 1000 ψήφοι

Χρειάζονται πάνω από 1000 ψήφους για πλειοψηφία. Οι Supervisors υποστηρίζουν όλοι το δικό τους σχέδιο, άρα έχουν ήδη 1000 «ναι». Χρειάζονται ακόμη 1 ψήφο.

Αν το σχέδιο απορριφθεί, περνάμε στο Σενάριο A, όπου κάθε Field Worker παίρνει $100. Άρα ένας Field Worker θα στηρίξει το σχέδιο των Supervisors αν πάρει τουλάχιστον $100 τώρα, αντί για $100 αργότερα. Επειδή όλοι προτιμούν να πληρωθούν νωρίτερα, η ισότητα «$100 τώρα vs $100 μετά» γέρνει προς το «τώρα».

Έξυπνο σχέδιο των Supervisors:
Δίνουν $100 σε έναν μόνο Field Worker και κρατούν τα υπόλοιπα $99.900 για τον εαυτό τους.

Ψήφοι υπέρ: 1000 (Supervisors) + 1 (ο ευνοημένος Field Worker) = 1001 > 1000, άρα το σχέδιο εγκρίνεται. Κάθε Supervisor παίρνει:

($100.000 − $100) / 100 = $999.

Μπορούμε λοιπόν να πούμε ότι, σε αυτό το στάδιο, μια ψήφος Supervisors «αξίζει»:

$999 / 10 = $99 ανά ψήφο.

Βήμα 3 – Σενάριο C: Senior Managers + Supervisors + Field Workers

Τώρα υποθέτουμε ότι έχει απορριφθεί μόνο το σχέδιο του Director. Οι Senior Managers είναι αυτοί που προτείνουν, και ψηφίζουν:

• Senior Managers: 10 × 100 = 1000 ψήφοι
• Supervisors: 100 × 10 = 1000 ψήφοι
• Field Workers: 1000 × 1 = 1000 ψήφοι

Σύνολο 3000 ψήφοι, άρα χρειάζονται πάνω από 1500 για πλειοψηφία. Οι Senior Managers υποστηρίζουν ομόφωνα το δικό τους σχέδιο, άρα έχουν ήδη 1000 «ναι». Χρειάζονται ακόμη τουλάχιστον 501 ψήφους.

Χάρη στα Σενάρια A και B, γνωρίζουμε:

• Ένας Field Worker μπορεί να εξασφαλίσει $100 → «τιμή» ψήφου: $100.
• Ένας Supervisor μπορεί να εξασφαλίσει $999 συνολικά → «τιμή» ανά ψήφο: $99.

Για να αγοράσουν ψήφους φθηνά, οι Senior Managers προτιμούν πρώτα Supervisors (κάθε ψήφος «κοστίζει» $99) και, αν χρειαστεί, έναν Field Worker (ψήφος $100).

Βέλτιστο σχέδιο των Senior Managers:
Δίνουν $999 στους 50 πρώτους Supervisors και $100 σε έναν Field Worker.

Οι 50 Supervisors που πληρώνονται $999 είναι καλύτερα από ό,τι στο Σενάριο B, οπότε στηρίζουν το σχέδιο. Ο συγκεκριμένος Field Worker παίρνει $100 νωρίτερα και επίσης το στηρίζει.

Ψήφοι υπέρ:

• Senior Managers: 10 × 100 = 1000
• 50 Supervisors: 50 × 10 = 500
• 1 Field Worker: 1

Σύνολο ψήφων υπέρ = 1000 + 500 + 1 = 1501 > 1500.

Άρα το σχέδιο εγκρίνεται και το ποσό που απομένει για τους Senior Managers είναι:

$100.000 − 50 × $999 − $100 = $49.950 συνολικά, δηλαδή
$4.995 για κάθε Senior Manager.

Έτσι, μια ψήφος Senior Manager κοστολογείται, από την οπτική του Director, ως:

$4.995 / 100 = $49,95 ανά ψήφο.

Τελικό βήμα – Το βέλτιστο σχέδιο του Director

Επιστρέφουμε τώρα στην αρχή. Ο Director γνωρίζει ότι, αν απορριφθεί το δικό του σχέδιο, το Σενάριο C εξασφαλίζει στους Senior Managers $4.995 ο καθένας, σε ορισμένους Supervisors $999, σε έναν Field Worker $100 και στον ίδιο $0.

Άρα, για να περάσει το σχέδιό του, πρέπει να προσφέρει σε κάποιους εργαζομένους τουλάχιστον όσα θα έπαιρναν από τα επόμενα στάδια. Θέλει όμως να ξοδέψει όσο το δυνατόν λιγότερα, ώστε να κρατήσει όσο το δυνατόν μεγαλύτερο μερίδιο.

Ο Director έχει 1000 ψήφους. Αν εξασφαλίσει:

• την υποστήριξη όλων των 10 Senior Managers (10 × 100 = 1000 ψήφοι)
• και ενός Field Worker (1 ψήφος)

τότε οι ψήφοι υπέρ του σχεδίου του είναι:

1000 (Director) + 1000 (Senior Managers) + 1 (Field Worker) = 2001 ψήφοι,

που είναι ακριβώς πάνω από το όριο των 2000 ψήφων → η πλειοψηφία επιτυγχάνεται.

Για να πειστούν:

• κάθε Senior Manager πρέπει να πάρει τουλάχιστον $4.995,
• ο συγκεκριμένος Field Worker πρέπει να πάρει τουλάχιστον $100.

Τελικό σχέδιο του Director:
– 10 Senior Managers: από $4.995 ο καθένας
– 1 Field Worker: $100
– Όλοι οι άλλοι: $0
– Director: $49.950

Το σχέδιο αυτό δεν θα καταψηφιστεί και εξασφαλίζει στον Director τη μεγαλύτερη δυνατή απόδοση δεδομένων των κανόνων του παιχνιδιού και της ορθολογικής συμπεριφοράς όλων των παικτών.

Τι μας διδάσκει αυτό το παράδειγμα;

• Πώς η οπισθοδρομική επαγωγή λύνει πολύπλοκα πολυσταδιακά παιχνίδια.
• Πώς υπολογίζουμε την «τιμή μιας ψήφου» σε συστήματα σταθμισμένης ψηφοφορίας.
• Πώς η ισορροπία συμφερόντων οδηγεί σε φαινομενικά «άδικες» αλλά λογικές λύσεις.

Τέτοια προβλήματα συνδέουν την Θεωρία Παιγνίων με τα οικονομικά, τη διοίκηση και τη δημόσια πολιτική, και αποτελούν ιδανικό υλικό για προχωρημένους μαθητές και φοιτητές που θέλουν να δουν τα μαθηματικά «στην πράξη».

Game Theory Inside a Company: What Is the Director’s Optimal Plan?

A seemingly administrative puzzle hides a classic tool of Game Theory: backward induction. A company must distribute $100,000 among its employees, using votes and rulings by a Fair Work Commission. Everyone is fully rational: they want to maximise their own share and, in the case of equal outcomes, they prefer to get the money as early as possible.

The Company Structure and Voting Power

• 1 Director with 1000 votes
• 10 Senior Managers with 100 votes each (total 1000)
• 100 Site Supervisors with 10 votes each (total 1000)
• 1000 Field Workers with 1 vote each (total 1000)

In total there are 4000 votes, so any plan must collect a strict majority of more than 2000 votes.

The Distribution Procedure

1. First, the Director proposes a plan. If it gets a majority, it is implemented. Otherwise the Director loses the right to vote or receive any money.
2. Next, the Senior Managers propose a plan which they all support unanimously. If it is rejected, they also lose all rights.
3. Finally, the Site Supervisors propose a unanimously supported plan. If it is rejected, they lose their share and the $100,000 is split equally among the Field Workers.

Our goal is to find the Director’s plan that will not be voted out and gives the Director the largest possible share. We solve the puzzle by working backwards from the last stage.

Step 1 – Scenario A: Only Field Workers Remain

If we reach the point where the Director, Senior Managers and Supervisors have all been dismissed, the Fair Work Commission simply divides the money equally among the Field Workers:

Scenario A: each Field Worker receives $100,000 / 1000 = $100.

This means that in earlier stages, when a Field Worker casts a vote, they know that there is an alternative in which they can secure $100, even if it takes a bit more time.

Step 2 – Scenario B: Supervisors + Field Workers

Now assume that the Director and the Senior Managers have been dismissed and it is the Supervisors who propose a plan. The votes are:

• Supervisors: 100 × 10 = 1000 votes
• Field Workers: 1000 × 1 = 1000 votes

They need more than 1000 votes. Since the Supervisors unanimously support their own plan, they already have 1000 “yes” votes. They need just one more vote.

If their plan is rejected, we return to Scenario A and every Field Worker gets $100. So a Field Worker will support the Supervisors’ plan if they get at least $100 now, instead of $100 later. Because everyone prefers to be paid earlier, the tie “$100 now vs $100 later” is resolved in favour of “now”.

Smart plan for the Supervisors:
Give $100 to a single Field Worker and keep the remaining $99,900 for themselves.

Votes in favour: 1000 (Supervisors) + 1 (the favoured Field Worker) = 1001 > 1000, so the plan passes. Each Supervisor receives:

($100,000 − $100) / 100 = $999.

Thus, at this stage one Supervisor’s vote can be thought of as having a “value” of:

$999 / 10 = $99 per vote.

Step 3 – Scenario C: Senior Managers + Supervisors + Field Workers

Now assume that only the Director’s plan has been rejected. The Senior Managers propose the plan, and the voters are:

• Senior Managers: 10 × 100 = 1000 votes
• Supervisors: 100 × 10 = 1000 votes
• Field Workers: 1000 × 1 = 1000 votes

With a total of 3000 votes they need more than 1500 to pass their plan. They already have 1000 “yes” votes from themselves, so they need at least 501 additional votes.

From Scenarios A and B we know:

• One Field Worker can secure $100 → “value” of one worker vote: $100.
• One Supervisor can secure $999 in total → “value” per Supervisor vote: $99.

To buy support cheaply, the Senior Managers will first pay Supervisors (cheaper votes at $99 each) and, if needed, one Field Worker ($100).

Optimal Senior Manager plan:
Give $999 to the first 50 Supervisors and $100 to one Field Worker.

Those 50 Supervisors get more than in Scenario B, so they support the plan. The chosen Field Worker receives $100 earlier and also supports it.

Votes in favour:

• Senior Managers: 10 × 100 = 1000
• 50 Supervisors: 50 × 10 = 500
• 1 Field Worker: 1

Total “yes” votes = 1000 + 500 + 1 = 1501 > 1500.

So the plan passes, and the remaining money for the Senior Managers is:

$100,000 − 50 × $999 − $100 = $49,950 in total, i.e.
$4,995 for each Senior Manager.

From the Director’s perspective, one Senior Manager vote now effectively costs:

$4,995 / 100 = $49.95 per vote.

Final Step – The Director’s Optimal Plan

We return to the beginning. The Director knows that if his plan is rejected, Scenario C guarantees each Senior Manager $4,995, some Supervisors $999, one Field Worker $100, and the Director himself $0.

Therefore, to get his plan approved, he must offer at least the same amounts to those whose votes he buys, while spending as little as possible overall.

The Director has 1000 votes. If he can secure:

• the support of all 10 Senior Managers (10 × 100 = 1000 votes), and
• the support of one Field Worker (1 vote),

then the “yes” votes total:

1000 (Director) + 1000 (Senior Managers) + 1 (Field Worker) = 2001 votes,

which is just above the threshold of 2000 votes → the plan passes.

To convince them:

• each Senior Manager must get at least $4,995,
• the chosen Field Worker must get at least $100.

Director’s final plan:
– 10 Senior Managers: $4,995 each
– 1 Field Worker: $100
– Everyone else: $0
– Director: $49,950

This plan cannot be voted out and gives the Director the maximum possible share, given the rules of the game and the rational behaviour of all participants.

What Does This Example Teach Us?

• How backward induction solves complex multi-stage games.
• How to compute the “value of a vote” in weighted voting systems.
• Why equilibrium of interests can lead to seemingly “unfair” yet logical outcomes.

Problems like this connect Game Theory with economics, management, and public policy, and they are excellent material for advanced students who want to see mathematics “in action”.